Gọi E kà không gian các đa thức có bậc không quá n trên [0, 1]. Chứng minh hai chuẩn sau là tương đương.
$||f||_{1} = sup\{|f(t)|: t \in [0, 1]\}$
$||f||_{2} = \int \limits_{0}^{1}|f(t)|dt$
Dễ thấy $||.||_{1} \geq ||.||_{2}$
Vì E là hữu hạn chiều nên mặt cầu đóng $K = \{x \in E \| ||x||_{1} =1\}$ là compac. Xét ánh xạ $f: E \rightarrow R, f(x) = ||x||_{2}$. Do đó f(x) liên tục trên K và đạt giá trị nhỏ nhất $\alpha >0 $. Khi đó với mọi $x \in E \Rightarrow y = \dfrac{x}{||x||_{1}} \in K $ do đó $f(y) \geq \alpha >0 \Rightarrow \dfrac{||x||_{2}}{||x||_{1}} \geq \alpha \Rightarrow ||x||_{2} \geq \alpha||x||_{1}$.
Vậy hai chuẩn là tương đương
- Khang Khang yêu thích