Trời, đúng thật là mọi thứ đều có thể đơn giản hơn
duongkhuyettam
Thống kê
- Nhóm: Thành viên
- Bài viết: 17
- Lượt xem: 1489
- Danh hiệu: Binh nhì
- Tuổi: Chưa nhập tuổi
- Ngày sinh: Chưa nhập ngày sinh
-
Giới tính
Nam
Công cụ người dùng
Lần ghé thăm cuối
Trong chủ đề: $L=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1...
17-12-2013 - 20:23
Trong chủ đề: $L=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1...
17-12-2013 - 19:34
Đặt $f(x)= ln(1+\frac{n+1-x}{n^2})$ $x \in [1,n+1]$.
Thấy luôn $f$ giảm trên đoạn $[1,n+1]$ nên có bất đẳng thức :
$\int_{1}^{n+1} f(x)dx \leq \sum_{i=1}^{n} f(i) \leq f(1)+\int_{1}^{n+1} f(x)dx$
Giờ chỉ cần tính $I=\int_{1}^{n+1} f(x)dx$ là xong.
Rất đơn giản :
$$I=\int_{1}^{n+1} ln(1+\frac{n+1-x}{n^2}) dx = \int_{1}^{n+1} ln(n^2+n+1-x)dx - \int_{1}^{n+1} ln(n^2)dx$$
$$=\int_{n^2}^{n^2+n} ln(y)dy - nln(n^2)dx$$ (với cách đặt $y=n^2+n+1-x$)
$$=(ylny - y)|^{n^2+n}_{n^2} - nln(n^2)dx = n^2 ln(1+\frac {1}{n}) -n + n ln (1+\frac {1}{n})$$
$$=n^2 \left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{2.n^2} + O(\frac{1}{n^3}) \right) - n + n \left (\frac{1}{n} + O(\frac{1}{n^2}) \right)$$
do khai triển hữu hạn tại $x=0$ của $ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+ O(x^3)$
$$I=\frac {1}{2} + O(\frac{1}{n})$$
Vậy $\text{lim}\sum_{i=1}^{n} \text{ln}(1+\frac{i}{n^2}) = \frac{1}{2}$
Trong chủ đề: Một bài khó : Chứng minh họ các ánh xạ $\left ( \varphi _x...
17-12-2013 - 02:40
Ánh xạ afin : trong hình học, đó là ánh xạ bảo toàn tính song song. Trong giải tích, bạn có thể hiểu ánh xạ afin là ánh xạ có dạng $x \mapsto p.x+q$ với $p,q$ là hằng số.
Ánh xạ $f$ liên tục từng khúc trên $[a,b]$ : tức là tồn tại một phân hoạch của $[a,b]$ sao cho $f$ liên tục trên từng khoảng mở của phân hoạch đó, và $f$ có giới hạn (phải và trái) hữu hạn tại các cận.
Ánh xạ afin liên tục từng khúc mình dùng ở đây có ý là :
một ánh xạ liên tục từng khúc, và trên mỗi khúc liên tục đó nó là ánh xạ afin. Chú ý là các ánh xạ afin trên từng khúc có thể có hệ số $p,q$ khác nhau.
Trong chủ đề: Chứng minh $\lim_{n \to \infty}(\varep...
13-12-2013 - 20:48
Hổng ở chỗ em cho tổng $\sum \varepsilon _n$ bị chặn.
Nếu cho $\varepsilon _n =1$ hết, và $a_n= \frac {1}{n^2}$ thì em sẽ thấy.
Bài này thật ra là chứng minh tốc độ tăng của $\sum \varepsilon _n$ (nếu có) thì cũng nhỏ hơn tốc độ giảm của $a_n$.
Trong chủ đề: Chứng minh $\lim_{n \to \infty}(\varep...
13-12-2013 - 19:14
Bài 1 em giải chưa đúng rồi, nếu cho $\varepsilon _n=1$ hết thì $\sum \varepsilon _n$ sẽ không bị chặn đâu. Gợi ý là dùng khai triển Albel sẽ dễ kiểm soát hơn.
Anh quên định nghĩa, $\text{card } A$ là số phần tử của tập $A$
- Diễn đàn Toán học
- → Đang xem trang cá nhân: Bài viết: duongkhuyettam