Đến nội dung

duongkhuyettam

duongkhuyettam

Đăng ký: 13-11-2008
Offline Đăng nhập: 16-10-2014 - 20:05
-----

Trong chủ đề: $L=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1...

17-12-2013 - 20:23

Trời, đúng thật là mọi thứ đều có thể đơn giản hơn  :icon6:


Trong chủ đề: $L=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1...

17-12-2013 - 19:34

Đặt $f(x)= ln(1+\frac{n+1-x}{n^2})$ $x \in [1,n+1]$. 

 

Thấy luôn $f$ giảm trên đoạn $[1,n+1]$ nên có bất đẳng thức :

 

$\int_{1}^{n+1} f(x)dx \leq \sum_{i=1}^{n} f(i) \leq f(1)+\int_{1}^{n+1} f(x)dx$

 

Giờ chỉ cần tính $I=\int_{1}^{n+1} f(x)dx$ là xong.

 

Rất đơn giản :

 

$$I=\int_{1}^{n+1}  ln(1+\frac{n+1-x}{n^2}) dx = \int_{1}^{n+1}  ln(n^2+n+1-x)dx - \int_{1}^{n+1}  ln(n^2)dx$$

 

$$=\int_{n^2}^{n^2+n}  ln(y)dy - nln(n^2)dx$$ (với cách đặt $y=n^2+n+1-x$)

 

$$=(ylny - y)|^{n^2+n}_{n^2} - nln(n^2)dx = n^2 ln(1+\frac {1}{n}) -n + n ln (1+\frac {1}{n})$$

 

$$=n^2 \left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{2.n^2} + O(\frac{1}{n^3}) \right) - n + n \left (\frac{1}{n} + O(\frac{1}{n^2})  \right)$$

 

do khai triển hữu hạn tại $x=0$ của $ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+ O(x^3)$

 

$$I=\frac {1}{2} + O(\frac{1}{n})$$

 

Vậy $\text{lim}\sum_{i=1}^{n} \text{ln}(1+\frac{i}{n^2}) = \frac{1}{2}$


Trong chủ đề: Một bài khó : Chứng minh họ các ánh xạ $\left ( \varphi _x...

17-12-2013 - 02:40

Ánh xạ afin : trong hình học, đó là ánh xạ bảo toàn tính song song. Trong giải tích, bạn có thể hiểu ánh xạ afin là ánh xạ có dạng $x \mapsto p.x+q$ với $p,q$ là hằng số.

 

Ánh xạ $f$ liên tục từng khúc trên $[a,b]$ : tức là tồn tại một phân hoạch của $[a,b]$ sao cho $f$ liên tục trên từng khoảng mở của phân hoạch đó, và $f$ có giới hạn (phải và trái) hữu hạn tại các cận.

 

Ánh xạ afin liên tục từng khúc mình dùng ở đây có ý là :

một ánh xạ liên tục từng khúc, và trên mỗi khúc liên tục đó nó là ánh xạ afin. Chú ý là các ánh xạ afin trên từng khúc có thể có hệ số $p,q$ khác nhau.


Trong chủ đề: Chứng minh $\lim_{n \to \infty}(\varep...

13-12-2013 - 20:48

Hổng ở chỗ em cho tổng $\sum \varepsilon _n$ bị chặn. 

 

Nếu cho $\varepsilon _n =1$ hết, và $a_n= \frac {1}{n^2}$ thì em sẽ thấy.

 

Bài này thật ra là chứng minh tốc độ tăng của $\sum \varepsilon _n$ (nếu có) thì cũng nhỏ hơn tốc độ giảm của $a_n$.


Trong chủ đề: Chứng minh $\lim_{n \to \infty}(\varep...

13-12-2013 - 19:14

Bài 1 em giải chưa đúng rồi, nếu cho $\varepsilon _n=1$ hết thì $\sum \varepsilon _n$ sẽ không bị chặn đâu. Gợi ý là dùng khai triển Albel sẽ dễ kiểm soát hơn.

 

Anh quên định nghĩa, $\text{card } A$ là số phần tử của tập $A$