Đặt $f(x)= ln(1+\frac{n+1-x}{n^2})$ $x \in [1,n+1]$.
Thấy luôn $f$ giảm trên đoạn $[1,n+1]$ nên có bất đẳng thức :
$\int_{1}^{n+1} f(x)dx \leq \sum_{i=1}^{n} f(i) \leq f(1)+\int_{1}^{n+1} f(x)dx$
Giờ chỉ cần tính $I=\int_{1}^{n+1} f(x)dx$ là xong.
Rất đơn giản :
$$I=\int_{1}^{n+1} ln(1+\frac{n+1-x}{n^2}) dx = \int_{1}^{n+1} ln(n^2+n+1-x)dx - \int_{1}^{n+1} ln(n^2)dx$$
$$=\int_{n^2}^{n^2+n} ln(y)dy - nln(n^2)dx$$ (với cách đặt $y=n^2+n+1-x$)
$$=(ylny - y)|^{n^2+n}_{n^2} - nln(n^2)dx = n^2 ln(1+\frac {1}{n}) -n + n ln (1+\frac {1}{n})$$
$$=n^2 \left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{2.n^2} + O(\frac{1}{n^3}) \right) - n + n \left (\frac{1}{n} + O(\frac{1}{n^2}) \right)$$
do khai triển hữu hạn tại $x=0$ của $ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+ O(x^3)$
$$I=\frac {1}{2} + O(\frac{1}{n})$$
Vậy $\text{lim}\sum_{i=1}^{n} \text{ln}(1+\frac{i}{n^2}) = \frac{1}{2}$
- Mrnhan yêu thích