Đến nội dung

duongkhuyettam

duongkhuyettam

Đăng ký: 13-11-2008
Offline Đăng nhập: 16-10-2014 - 20:05
-----

Chứng minh $\lim_{n \to \infty}(\varepsilon _1+...

12-12-2013 - 05:24

1/ Cho dãy giảm hệ số thực $(a_n)$, xét dãy tổng $\sum \varepsilon _n a_n$ , trong đó $\varepsilon _n \in \{-1,1\}$ với mọi $n$.

 

Chứng minh rằng, giả sử $\sum \varepsilon _n a_n$ hội tụ, thì $\lim_{n \to \infty}(\varepsilon _1+\varepsilon _2+...\varepsilon _n)a_n=0$

 

2/ Bây giờ cho dãy số thực $(b_n)$ tiến về 0 (khi $n \rightarrow \infty$). Chúng ta định nghĩa hàm $f$ từ $\mathbb{R}^{*}$ vào $\mathbb{R}$ như sau :

 $$f(x)=\left\{\begin{matrix} \text{card } \{n\in \mathbb{N} \ \ /\ \ b_n\geqslant x\} & \text{khi} \ \ x>0 \\ -\text{card } \{n\in \mathbb{N} \ \ /\ \ b_n\leqslant  x\} & \text{khi} \ \ x< 0 \end{matrix}\right.$$

 
a/ Chứng minh rằng $f(x)$ đã được định nghĩa tốt cho mọi $x$ khác $0$.
 
b/ Giả sử $\sum  b_n$ hội tụ và dãy $(\left | b_n \right |)_n$ là dãy giảm.
  
Chứng minh hàm $\varphi (x)=\int_{-\infty}^{-x}f(t)dt \ \ + \int_{x}^{+\infty}f(t)dt $, được định nghĩa với mọi $x>0$,
 
hội tụ đến $\sum_{n=0}^{+\infty}b_n$  khi  $x$ chạy đến 0.
 
3/ Đẳng thức đó còn đúng nữa không khi dãy $\sum  b_n$ hội tụ nhưng $(\left | b_n \right |)_n$ không phải là dãy giảm ?
 
 
 
Kí hiệu : $\text {card } A$ là số phần tử của tập $A$.

Chứng minh $N(f)=\int_{0}^{1} \left | f^{'...

12-12-2013 - 04:42

Cho $E$ là không gian vectơ của các ánh xạ $f :\left [ 0;1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ thuộc lớp $C^1$ và thỏa mãn $f(0)=0$.

 

Kí hiệu :

 

$N(f)=\int_{0}^{1} \left | f^{'} \right |$      và     $v(f)=\int_{0}^{1} \left | f^{'} +f\right |$

 

1/ Chứng minh $N$, $v$ là các chuẩn trên E.

 

2/ Chứng minh 2 chuẩn này tương đương.


Một bài khó : Chứng minh họ các ánh xạ $\left ( \varphi _x \right )...

12-12-2013 - 04:19

Cho ánh xạ $\varphi_{x} : t \mapsto \left | t-x \right |$ , trong đó $x$ chạy trên đoạn $I=\left [ a,b \right ]$  thuộc $\mathbb{R}$ ($a<b$).

 

Gọi $A$ là không gian các ánh xạ afine liên tục từng khúc trên đoạn $I$

 

Chứng minh họ các ánh xạ $\left ( \varphi _x \right )_{x\in I}$ là một cơ sở của không gian $A$.