xuantrandong

Er,E(theta),E(phi) từ đâu ra vậy ạ

Bài 2

Mình xin giải bài 2:

Bổ đề: Cho $\Delta ABC$ tâm ngoại tiếp $O$ và 2 điểm $P,Q$ đẳng giác. $H, I, K$ là tâm ngoại tiếp của các tam giác $PBC, PCA,PAB$. $D, E, F$ là tâm ngoại tiếp các tam giác $QBC, QCA, QAB$. Gọi $(O_{1}),(O_{2})$ là các đường tròn ngoại tiếp tam giác $HIK, DEF$. Khi đó  $O, O_{1}, O_{2}$ thẳng hàng và đường thẳng $O_{1}O_{2}$ song song với $PQ$.

Chứng minh bổ đề: Dễ chứng minh các tứ giác $KFIE, EIHD, DHFK$ là các tứ giác nội tiếp và $O$ là tâm đẳng phương của các đường tròn  $(KFIE), (EIHD), (DHFK)$. Xét phép nghịch đảo phương tích $OH.OD=OI.OE=OF.OK$ biến đường tròn $(HIK)$ thành đường tròn $(DEF)$ nên $O, O_{1}, O_{2}$ thẳng hàng. $KI, EF$ giao nhau tại $X$, $DF, HK$ giao nhau tại $Y$. Thì $XK.XI=XE.XF$ và $YD.YF=YH.YK$ nên đường thẳng $XY$ là trục đẳng phương của  $(O_{1}),(O_{2})$ nên $XY$ vuông góc $O_{1}O_{2}$. Hơn nữa do $X, Y$ là tâm ngoại tiếp của các tam giác $APQ, BPQ$ nên $X, Y$ thuộc trung trực của đoạn thẳng $PQ$ nên $XY$ vuông góc $PQ$ do đó $XY$ song song với đường thẳng qua  $O, O_{1}, O_{2}$.

Trở lại bài toán:

Gọi $I, J, K, G, H, L$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PBC, PCA, PAB, QBC, QCA, QAB$. Gọi $U, V$ là tâm ngoại tiếp các tam giác $IJK, GHL$. Theo bổ đề ta cần chứng minh $DX, EY, FZ, UV$ đồng quy. $UV, AD$ giao nhau tại $R$; $KJ, HL$ giao nhau tại $M$. Ta có:

$(ROUV)=X(R,O,U,V)=M(O,R,J,L)=-1$ ( áp dụng định lý $Brocard$ và chùm trực giao ). 

Do đó nếu $EY, FZ$ giao $UV$ tại $R', R''$ thì ta có $(ROUV)=(R'OUV)=(R''OUV)=-1$ nên $R, R', R''$ trùng nhau. 

Ta có điều phải chứng minh

Lời giải bài 2 của mình

Bổ đề: Cho $\Delta ABC$, 2 điểm $P,Q$ sao cho $P$ nằm ở miền trong $\Delta ABC$ và $BPCQ$ là hình bình hành. khi đó $BP,CP$ đối song $\angle A$ khi và chỉ khi $AP,AQ$ đẳng giác $\angle A$

Chứng minh: Dựng hình bình hành $ACPR$

Giả sử $BP,CP$ đối song thì $\angle ABP=\angle ACP=\angle ARP$ khi đó $ARBP$ nội tiếp nên $\angle BAP=\angle BRP=\angle CAQ$ do đó $AP,AQ$ đẳng giác. 

Chiều ngược lại chứng minh tương tự 

Trở lại bài toán: 

Lấy $P,Q$ đối xứng với $N,M$ qua trung điểm $L$ của $BC$. Áp dụng bổ đề:

Do $BM,CM$ đối song góc $A$ nên $AM,AQ$ đẳng giác góc $A$.

Do $BP,CP$ đối song góc $A$ nên $AN,AP$ đẳng giác góc $A$. 

vậy nên $AM,AQ$ đẳng giác $\angle PAN$, áp dụng bổ đề 1 lần nữa được $PM,NM$ đối song góc $\angle PAN$.

Dựng hình bình hành $AH'MP$ được $H'AMN$ nội tiếp do $\angle AH'M=\angle APM=\angle ANM$

và $AH'$ vuông góc $BC$ nên $H$ trùng $H'$.

Vậy $AH=MP=2KL$

Cảm ơn bạn rất nhiều.

Có công thức tính toán dễ hẳn.