muctieu-5

Cho tứ diện có các kích thước cạnh như hình trên. Thêm một vài ký hiệu bổ sung mà cũng đã khá quen thuộc với các bạn làm toán:
$R, r, S, V,C,p$: bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, diện tích toàn phần, thể tích, chu vi(tổng tất cả các cạnh) và nửa chu vi tứ diện.
$S_A,S_B,S_C,S_D$ là diện tích các mặt tứ diện đối diện với các đỉnh tương ứng
$R_A, R_B, R_C, R_D$: khoảng cách từ một điểm M nằm trong tứ diện đến các đỉnh tương ứng.
$d_A, d_B, d_C, d_D$: khoảng cách điểm M đó đến các mặt đối diện với các đỉnh tương ứng.
$h_A, h_B, h_C, h_D$: đường cao của tứ diện hạ từ các đỉnh tương ứng.

Mình đã tổng hợp vài BĐT và xin đưa ra vài bất đẳng thức sau:
1) $R \geq 3r$

2) $V \leq \dfrac{8sqrt{3}}{27}R^3$

3) $S \geq 6\sqrt[3]{\sqrt{3}V^2}$

4) $p \geq 3\sqrt{2}\sqrt[3]{3V}$

5) $r\leq\dfrac{\sqrt[3]{9sqrt{3}V}}{6}\leq\dfrac{\sqrt{2\sqrt{3}S}}{12}\leq\dfrac{\sqrt{6}}{36}p\leq\dfrac{R}{3}$

6) $p^2\geq3\sqrt{3}S$

7) $p^2\geq3\sqrt{3}S+\dfrac{1}{2}((a+a_1-b-b_1)^2+(b+b_1-c-c_1)^2+(c+c_1-a-a_1)^2)+\dfrac{3}{4}((a-a_1)^2+(b-b_1)^2+(c-c_1)^2)$

8) $R_A+ R_B+R_C+ R_D\geq12r$

9) $R_A^2+ R_B^2+R_C^2+R_D^2\geq\dfrac{1}{6}p^2\geq\dfrac{\sqrt{3}}{2}S$

10) $R_AR_BR_CR_D\geq81d_Ad_Bd_Cd_D$

11) $R_A+ R_B+R_C+ R_D\geq3(d_A+d_B+d_C+d_D)$

12) $(R_A+ R_B+R_C+ R_D)(\dfrac{1}{d_A}+\dfrac{1}{d_B}+\dfrac{1}{d_C}+\dfrac{1}{d_D})\geq48$

13) $(R_A^2+ R_B^2+R_C^2+R_D^2)(\dfrac{1}{d_A^2}+\dfrac{1}{d_B^2}+\dfrac{1}{d_C^2}+\dfrac{1}{d_D^2})\geq144$

14) $min(h_A, h_B, h_C, h_D)\leq d_A+d_B+d_C+d_D \leq max(h_A, h_B, h_C, h_D)$

@all: các bạn chứng minh và bổ sung tiếp nhé!

Bác nào có tài liệu nào nhiều bài tập hay về hình học giải tích không, hình phẳng và hình không gian (9p +16kg), ít ra cũng trên mức cơ bản(vì cơ bản nhiều sách rồi).
Tài liệu bằng tiếng Anh, Nga hay Việt đều được hết cả. Em xin cảm ơn các bác!

Tìm n là số tự nhiên sao cho $(n^2+n+1)\vdots 9$

Mình đọc thấy trên tạp chí Kvant có nhiều bài toán vui rất hay nên muốn mọi người cùng tham gia giải. Bắt đầu nhé:

Trên bảng viết một đẳng thức sai: 5+5+5+5=555
Hãy thêm vào một đoạn thẳng nhỏ để biểu thức trên thành đúng???

Moscow Institute of Physics and Technology 2005

ĐỀ 1:

1) Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} 1+\sqrt{2x-y}=\dfrac{2x-y}{xy}+\dfrac{xy}{\sqrt{2x-y}}\\ xy \sqrt {\dfrac{xy}{2x-y}}=4-3\sqrt{2x-y}\end{array} \right.$

2) Giải bất phương trình:
$\sqrt{log_{(4-x)}(x^2+\dfrac{1}{4})}<log_{(x-4)^2}(4x^2-\dfrac{x}{4}+1-x^3)$

3) Giải phương trình
$(24sinx+7cosx)(76+28cosx-25cos2x)=2508$

4) Đường tròn $\Omega$ tâm O ngoại tiếp tam giác ABC. Qua O vẽ đường thẳng song song với BC, đường này cắt AB, AC lần lượt tại B1,C1. Đường tròn $\omega$ qua B1, C1 tiếp xúc với đường tròn $\Omega$ tại K. Tính góc giữa AK và BC. Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn $\Omega$ nếu BC=8, AK=5, B1C1=5.

5) Với giá trị nào của a thì PT: $|x^3|-x+a=0$ có nghiệm duy nhất. Giải phương trình với những giá trị a tìm được.

6) Hình nón tròn xoay đỉnh O có chiều cao là 3, bán kính đường tròn đáy là 2. Tứ diện ABCD nội tiếp hình nón sao cho A và C nằm trên đường tròn đáy, B và D nằm trên đường sinh. B thuộc đoạn OA. Biết $OB=OD=AB, AC=2sqrt{2}, BD=\sqrt{2}$. Tính thể tích tứ diện ABCD, góc nhị diện cạnh AB và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.