Đến nội dung

vo van duc

vo van duc

Đăng ký: 11-07-2009
Offline Đăng nhập: 16-03-2024 - 14:31
****-

Trong chủ đề: Tìm ma trận giao hoán với $\begin{bmatrix} 2&-1 &0...

11-12-2023 - 00:52

Tìm tất cả các ma trận giao hoán với ma trận A (Ma trận X được gọi là giao hoán với ma trận A nếu XA=AX)

A= $\begin{bmatrix} 2&-1 &0 \\ -1&2 &-1 \\ 0& -1& 2 \end{bmatrix}$

Giả sử $X=\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}$ là ma trận cần tìm.

 

Thực hiện tính toán $AX$ và $XA$. Từ $AX=XA$ ta suy ra ma trận cần tìm có dạng: $$X=\begin{pmatrix} \gamma & \alpha & \beta \\ \alpha & \beta+\gamma & \alpha \\ \beta & \alpha & \gamma \end{pmatrix}$$ với $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ là các số thực tuỳ ý.


Trong chủ đề: Mục lục các bài toán về định thức

28-11-2023 - 07:53

Mỗi bài có đường link. Em hãy tham gia thảo luận.

Trong chủ đề: $$f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2...

24-11-2023 - 21:35

 

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;1]$ và thỏa mãn điều kiện: 
 
$$f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}f(x^{2})$$.
 
Tính $\int_{-1}^{1}f(x)dx$

 

 

Tôi hơi hoài nghi về việc tồn tại hàm số $f(x)$ thoả mãn điều kiện đề bài. Có bạn nào giải tìm hàm $f(x)$ không?


Trong chủ đề: CMR: $a+b+c \geq ab + bc + ac$.

24-11-2023 - 21:17

Theo nguyên lí Đi-rich-lê thì trong ba số $a-1,b-1,c-1$ phải có hai số cùng dấu; giả sử là $a-1$ và $b-1$. Khi đó

\[c(a-1)(b-1)\ge 0\implies c\ge ac+bc-abc\implies a+b+c\ge a+b-abc+ac+bc.\]

Như vậy ta cần chứng minh

\[a+b-abc+ac+bc\ge ab+bc+ca\iff a+b\ge ab(c+1).\]

Mặt khác theo giả thiết thì $c\le \frac{4-ab}{a+b+ab}$ (ở đây đang xét $a^2+b^2\neq 0$), do đó ta cần chứng tỏ

\[a+b\ge ab\left(\frac{4-ab}{a+b+ab}+1\right)\iff \frac{(a-b)^2}{a+b+ab}\ge 0.\]

 

Với giả thiết bài toán thì mệnh đề "trong ba số $a-1$, $b-1$, $c-1$ phải có hai số cùng dấu" là chưa chặt. Vì nếu $a=b=1$ thì $a-1=b-1=0$, mà $0$ là số không âm, cũng không dương nên không thể nói $a-1$ và $b-1$ cùng dấu.

 

Thiết nghĩ, có thể xét 3 trường hợp:

TH1: $a=b=c=1$.

TH2: Trong ba số $a$, $b$, $c$ có hai số bằng 1, giả sử $a=b=1$.

TH3: Cả ba số $a$, $b$, $c$ đều khác 1.

TH1, TH2 thì dễ thấy đpcm; TH3 thì lời giải của bạn là trọn vẹn.


Trong chủ đề: $lim\frac{n}{3^{n}-1}$

03-11-2023 - 21:39

$lim\frac{n}{3^{n}-1}$

 

Em hãy thử với hướng đi dùng định lý kẹp.