Đoàn Quốc Việt

Tìm $n \in N$ sao cho $A={n^6} + {n^4} + 1$ là số nguyên tố?

Tìm số tự nhiên n khác 0 sao cho tổng $1! + 2! + 3! + ... + n!$ là một số chính phương.

Giả sử số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 ắt đó phải là số chẵn.
Số chính phương chẵn chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4.
Các số có hai chữ số chia hết cho 4 có tận cùng là 6 chỉ có thể là: 16, 36, 56, 76, 96

Bài 3 Hai đường phân giác trong BE và CF của ABC cắt nhau tại I . CMR: ABC vuông tại A <=> BI .CI = $\frac{BE . CF}{2}$

Đặt $AB=c, AC=b, BC=a.$
Theo tính chất tia phân giác thì: $CE=\dfrac{ab}{a+c} \Rightarrow \dfrac{BI}{BE} = \dfrac{a}{a+CE} =\dfrac{a+c}{a+b+c}$

Tương tự: $\dfrac{CI}{CF}=\dfrac{a+b}{a+b+c}$

Từ đó suy ra: $\dfrac{BE}{BI}. \dfrac{CF}{CI} = 2 = \dfrac{a+b+c}{a+c}. \dfrac{a+b+c}{a+b}$

$\Rightarrow (a+b+c)^2=2(a+c)(a+b)$

$\Rightarrow a^2=b^2+c^2$

Cho tứ giác ABCD bất kì với M thuộc đoạn thẳng AB. Hãy dựng 1 đường thẳng qua M sao cho nó chia tứ giác ABCD thành 2 phần có diện tích bằng nhau.

Từ $B$ kẻ đường thẳng song song với $MC$ cắt $DC$ tại $E$, từ $A$ kẻ đường thẳng song song $MD$ cắt $DC$ tại $F$. Lấy $I$ là trung điểm $EF$, đường thẳng $MI$ là đường thẳng cần dựng.

Cho điểm I chạy trên đoạn BC của tam giác đều ABC, gọi N là trung điểm IC, gọi M là giao điểm của đường thẳng qua I vuông góc AC với đường thẳng qua B vuông góc AB. Chứng minh: AN vuông góc với MN.

Đường tròn tâm O, có B, C cố định trên đường tròn, 1 điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC. Xác định vị trí điểm E để EB + EC lớn nhất.
Anh nào biết chỉ giúp em với, em nghĩ hoài không được. Em xin cảm ơn.

http://diendantoanho...l=&fromsearch=1

Qua đỉnh A của hình vuông ABCD có cạnh dài $\sqrt{5}$cm, vẽ mọt đừong thẳng cắt cạnh BC tại M và cẳt đừong thẳng DC tại N. Tính $\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AN^{2}}$

Từ $A$ kẻ đường thẳng vuông góc $AN$ cắt $DC$ tại $E$ như hình:

Khi đó:
$\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{5}$

Giả thiết không cho góc A = 90 độ mà bạn !!?
Nếu góc A=90 độ thì
=> góc BAH = 90 / 3 = 30 độ, góc HAC = 60 độ
=> góc HBA = 90 - 30 = 60 độ
góc HCA = 90 - 60 = 30 độ

Bạn đọc lại lời giải của tôi đi, có sử dụng góc A vuông đâu? Kết quả $\widehat{A}=90^0$ suy ra sau cùng.

cho hình vuông ABCD Gọi E là 1 điểm bất kì trên đoạn thẳng AD Phân giác $\angle ABE$ cắt AD tại M và phân giác $\angle CBE$ cắt CD tại N
CMR 1) MN $\perp$ BE
2) xác định E trên AD để $S$DMN đạt GTLN

Kẻ $KB \bot BM$ như hình:

$\Delta AMB = \Delta CKB \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {CKB}$
$\Delta BMN = \Delta BKN \Rightarrow \widehat {BMN} = \widehat {CKB}$
$ \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {BMN} \Rightarrow \Delta BAM = \Delta BHM \Rightarrow \widehat H = {90^0}$

Tính các góc của tam giác ABC biết đường cao AH, trung tuyến AM chia góc $\widehat{BAC}$ thành 3 góc bằng nhau

Theo tính chất phân giác áp dụng cho tam giác AHC:
$\dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{HD}}{{DC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {C} = {30^0} \Rightarrow \widehat {B} = {60^0}$

Chứng minh rằng nếu lục giác lồi $ABCDEF$ có 6 góc trong bằng nhau thì có:
$$|AB-DE|=|BC-EF|=|CD-FA|$$

Vẽ các hình bình hành như hình dưới, dễ nhận thấy tam giác MNP đều. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Cho đường tròn (O), đường kính AB= 2R. C là điểm trên đường tròn (O) sao cho CA>CB. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. E là 1 điểm bất kì thuộc cung AC; K là giao điểm của EB và CD
a) Chứng minh tứ giác AHKE là tứ giác nội tiếp
b)Chứng minh tam giác BCK đồng dạng tam giác BEC
c)Giả sử OH= $\dfrac{R}{3}$. Xác định vị trí của điểm E trên cung AC để đường tròn ngoại tiếp tam giac EHK có bán kinh lớn nhất

Giúp mình phần c) với nhé

Đường tròn ngoại tiếp tam giác $EHK$ có đường kính là $AK$ vì $\hat{H} = \hat{K} = 90^0$

$AK$ lớn nhất khi $K$ trùng với $C$. Vậy $E$ trùng với $C$.

Cho đường tròn (O) và dây AB. Gọi C là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Lấy điểm I bất kì trên cung nhỏ AC. Kẻ tia Bx vuông góc với tia IC ở H và cắt tia AI ở D
a)Chứng minh $\angle HID=\angle ABC$ và IH là tia phân giác của góc BID
b)Chứng minh C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
c)Giả sử dây AB cố định. Chứng minh $\angle ADB$ có độ lớn không đổi , không phụ thuộc vào vị trí của điểm I trên cung nhỏ AC

Giúp mình phần c) các bạn nhé

Vì $\widehat{ADB} = \dfrac{1}{2} \widehat{ACB}$ không đổi.

Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn: $x^4-x^3+2x+2=y^2$