Đến nội dung

NAT

NAT

Đăng ký: 16-10-2009
Offline Đăng nhập: 21-03-2024 - 21:53
**---

#736412 Giải phương trình: $(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac...

Gửi bởi NAT trong 22-12-2022 - 18:27

Anh ơi Em nghĩ mình cần xét trường hợp $x+2+2\sqrt{2x^{2}-1}=0$ vì biết đâu 1 khả năng nhỏ đó là nghiệm của pt thì sao ?

Khi biến đổi được thành tích là đủ 2 trường hợp luôn rồi nhé (chỉ khác hình thức trình bày, theo mình làm vậy thì trình bày tương đương một mạch luôn) :D




#736410 Giải phương trình: $(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac...

Gửi bởi NAT trong 22-12-2022 - 18:17

Cách 2: $PT \Leftrightarrow 10x^{2}+3x-6=2(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}$

$\Leftrightarrow 7x^{2}-4x-8+(3x+1)(x+2-2\sqrt{2x^{2}-1})=0$

Tới đây ta liên hợp sẽ ra nhân tử chung là $7x^{2}-4x-8$ ( và trước đó ta cần xét đk $x+2+2\sqrt{2x^{2}-1}\neq 0$) 

Phân tích thành nhân tử luôn, né xét điều kiện:

$7x^{2}-4x-8+(3x+1)(x+2-2\sqrt{2x^{2}-1})=0$

$\Leftrightarrow (2\sqrt{2x^{2}-1}+x+2)(2\sqrt{2x^{2}-1}-x-2)+(3x+1)(x+2-2\sqrt{2x^{2}-1})=0$
$\Leftrightarrow (2\sqrt{2x^{2}-1}-x-2)(2\sqrt{2x^{2}-1}-2x+1)=0$



#736360 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\frac{x}{y+1}}+...

Gửi bởi NAT trong 19-12-2022 - 22:08

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{aligned} & \sqrt{\frac{x}{y+1}}+\sqrt{\frac{y}{x+1}}=\sqrt{2} \\ & 1+\sqrt{2 x+y-3}=\sqrt{x-1}+\sqrt{3 x-2} \end{aligned}\right.$
 



#735765 ${log_{2}}^{\frac{x^{2}+2...

Gửi bởi NAT trong 19-11-2022 - 16:31

$${log_{2}}^{\frac{x^{2}+2}{2x+5}}=-x^{2}+4x+9$$

$\log_{2}{\frac{x^{2}+2}{2x+5}}=-x^{2}+4x+9$ (1)

ĐK: $x>-\frac{5}{2}$.

PT (1) tương đương với

${{\log }_{2}}({{x}^{2}}+2)-{{\log }_{2}}(2x+5)=-{{x}^{2}}-2+4x+11$ 
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{x}^{2}}+2)+({{x}^{2}}+2)={{\log }_{2}}(4x+10)+(4x+10)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2=4x+10$ (vì $f(t)={{\log }_{2}}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$)
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-8=0$ 
$\Leftrightarrow x=2\pm 2\sqrt{3}$



#735229 $x^{3}-4x^{2}-2x+31=8\sqrt[4]{4x+4}...

Gửi bởi NAT trong 04-10-2022 - 21:30

$x^{3}-4x^{2}-2x+31\geq x+13\Leftrightarrow (x-3)^{2}(x+2)\geq 0$

$VT\geq x+13\geq VP$

P/s: Ý tưởng bài này là đánh giá nhưng hơi khó nhìn( ý là chưa được tự nhiên cho lắm )   :( Bạn còn cách giải quyết khác k 

Có thể đặt ẩn phụ đưa về PT bậc cao hoặc liên hợp :D




#735000 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt

Gửi bởi NAT trong 18-09-2022 - 13:59

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $\frac{x+1}{x}+\frac{x+2}{x+1}+\frac{x+3}{x+2}+\left | x+4 \right |=x+m$ có đúng ba nghiệm phân biệt 

Lập BBT của hàm số $f(x)=\frac{x+1}{x}+\frac{x+2}{x+1}+\frac{x+3}{x+2}+\left | x+4 \right |-x$ sẽ suy ra $m \le 7$.




#734807 $\max\limits_{0\le i\le n+1}\left| {a}^{i}-P...

Gửi bởi NAT trong 05-09-2022 - 10:12

Cho $P\left( x \right)\in \mathbb{R}[x]$ thỏa mãn $\deg P=n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng với mọi $a>3$ thì
 
$\max\limits_{0\le i\le n+1}\left| {a}^{i}-P\left( i \right) \right|\ge {\left( \frac{a-1}{2} \right)}^{n}$.



#734800 $M=\max\limits_{\left[ -1;1 \right]}\...

Gửi bởi NAT trong 04-09-2022 - 21:00

Cho $a,b,c\in \mathbb{R}$. Đặt $M=\max\limits_{\left[ -1;1 \right]}\left| 4x^3+ax^2+bx+c \right|$. Chứng minh rằng $M\ge 1$.




#733612 $$\begin{equation}\begin{split}\...

Gửi bởi NAT trong 10-06-2022 - 14:02

$\!\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$

$$\begin{equation}\begin{split} \int\frac{3\sin x- 4\cos x}{\sin x- 2\cos x} \end{split}\end{equation}$$

Ta có $3\sin x- 4\cos x=\frac{11}{5}(\sin x-2\cos x)+\frac{2}{5}(\cos x+2\sin x)$.




#733541 Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{y}{3 x^{2}...

Gửi bởi NAT trong 28-05-2022 - 14:01

Cho $x$, $y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=\frac{2}{3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{y}{3 x^{2}+1}+\frac{x}{3 y^{2}+1}$




#732901 $\frac{(x-4)\sqrt{x-2}-1}{\sqrt...

Gửi bởi NAT trong 12-03-2022 - 14:28

P/s: Anh NAT cho em gõ dùm nhé  :wub:

 

ĐKXĐ: $4\geq x\geq 2$

Trước tiên ta chưa thể đánh giá ngay 2 vế, mà ta cần biến đổi 1 bước như sau:

PT $\Leftrightarrow \frac{(x-2)\sqrt{x-2}-2\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{2+2(x-2)\sqrt{x-2}}{x-1}$

$\Leftrightarrow \frac{2(\sqrt{x-2}+1)(x-1-\sqrt{x-2})}{x-1}=\frac{(\sqrt{x-2}+1)(x-3-\sqrt{x-2})}{\sqrt{4-x}+x-5}$

$\Leftrightarrow \frac{2(x-1-\sqrt{x-2})}{x-1}=\frac{x-3-\sqrt{x-2}}{\sqrt{4-x}+x-5}$     (*)

    ( Vì $\sqrt{x-2}+1 >0$  )       

Giờ ta đi đánh giá :

VT (*) $\geq 1$ $\Leftrightarrow \frac{2(x-1-\sqrt{x-2})}{x-1}\geq 1\Leftrightarrow (\sqrt{x-2}-1)^{2}\geq 0$    ( Quy đồng nhân chéo lên biến đổi, do mẫu luôn lớn hơn 0)

VP (*) $\leq 1$ $\Leftrightarrow \frac{x-3-\sqrt{x-2}}{\sqrt{4-x}+x-5}\leq 1\Leftrightarrow x-3-\sqrt{x-2}\geq \sqrt{4-x}+x-5$  ( Vì mẫu $\sqrt{4-x}+x-5 <0$ )

Biến đổi tiếp dẫn đến $(x-3)^{2}\geq 0$ ( luôn đúng)

Vậy ...

~O)  ~O)  ~O)

Cảm ơn Le Tuan Canhh, bạn đã gõ chính xác theo cách của mình.

Ngoài ra, có thể đánh giá theo cách sau:

Ta có: $\frac{2+(2 x-4) \sqrt{x-2}}{x-1}-\sqrt{x-2}-1=\dfrac{\left(\sqrt{x-2}-1\right)(x-3)}{x-1}=\dfrac{(x-3)^2}{(x-1)\left(\sqrt{x-2}+1\right)}\ge 0$.

Tương tự, ta cũng đánh giá được: $\frac{(x-4) \sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}-\sqrt{x-2}-1 \le 0$.




#732750 $\frac{(x-4)\sqrt{x-2}-1}{\sqrt...

Gửi bởi NAT trong 26-02-2022 - 14:19

Giải phương trình: $\frac{(x-4)\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{2+(2x-4)\sqrt{x-2}}{x-1}$

Đánh giá hai vế tìm được $x=3$.




#732749 $\left\{\begin{matrix} x^{3}+3x...

Gửi bởi NAT trong 26-02-2022 - 08:14

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{3}+3x y^{2}+x=\sqrt[3]{1-3 x y^{2}}+1 \\ y+x \sqrt{3}=\sqrt[3]{2-3 x^{2} y}+\sqrt{\frac{2}{y}-y^{2}} \end{matrix}\right.$, với $x, y \in \mathbb{R}$.




#732717 Tính tích phân $I=\int_{0}^{1} e^x f(x) dx$

Gửi bởi NAT trong 20-02-2022 - 19:09

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0 ; 1]$ thỏa mãn $\int_{0}^{1} x f(x) dx=0$ và $\max_{[0;1]} |f(x)|=1$. Tính tích phân $I=\int_{0}^{1} e^x f(x) dx$.

 




#731407 $\left\{\begin{matrix} x(x^2-x+1)=(y+2)...

Gửi bởi NAT trong 31-10-2021 - 20:41

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x(x^2-x+1)=(y+2)\sqrt{y+1} \\ x(x^2+x+1)=\sqrt{(y+1)(y+2)}  \end{matrix}\right.$