nguyen phat tai

Tìm GTLN biểu thức $P=\frac{x^{4}+y^{4}}{\left ( x+y \right )^{4}}+\frac{x^{2}+y^{2}}{\left ( x+y \right )^{2}}+\frac{5\sqrt{xy}}{x+y}$

có điều kiện x, y không bạn

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} (x-y)\sqrt{y}=1-x, (1)\\y(x+1)-\sqrt{y}(y+1)=x^{3}+5x^{2}-x-5, (2) \end{matrix}\right.$

Đặt $a=\sqrt{y} \geq 0$ ta được $(1) \Leftrightarrow (a+1)(a^2-a+1)=x(a+1) \Rightarrow x=a^2-a+1\geq\frac34$

từ đó: $\Rightarrow a^2(x+1)-a(a^2+1)=a^2(x+1)-a(x+a)=x(a^2-a)=x(x-1)$.

từ $(2) \Rightarrow x(x-1)=(x+1)(x-1)(x+5) \Rightarrow x=1$

cho $a+b+c=3$ tìm max

 

$\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

$\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$
$=\frac{2}{9}.\frac{(a+b+c)^2}{(a+1)b+(b+1)c+(c+1)a}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

$\leq\frac29.\sum\frac{1}{1+a}+\frac39\sum\frac{a}{1+a}=\frac23+\frac19.\sum\frac{a}{1+a}$

$\leq\frac23+\frac{1}{18}.\sum\sqrt{a}\leq\frac23+\frac{1}{18}.\sqrt{3(a+b+c)}=\frac56$

Cho số tự nhiên $n\geq 2$. CMR:
$\frac{1}{1+3+5}+\frac{1}{1+3+5+7}+\frac{1}{1+3+5+7+9}+...+\frac{1}{1+3+5+...+(2n-1)}< \frac{5}{12}$

$\sum_{i=3}^{n}\frac{1}{\sum_{j=1}^{i}(2j-1)}=\sum_{i=3}^{n}\frac{1}{i^2}<\sum_{i=3}^{n}\frac{1}{(i-1)(i+1)}$
$=\frac12 \sum_{i=3}^{n}(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i+1})=\frac12(\frac12+\frac13-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})<\frac{5}{12}$

Tìm m để BPT vô nghiệm:

$\sqrt{4-x^2}< m-x$

$\Leftrightarrow f(x)=\sqrt{4-x^2}+x< m$. BPT vô nghiệm $\Leftrightarrow m < minf(x) = -2$

sao CM được điều kiện $|a-b| \leq |c-d|$ vậy bạn

Bài 1.
Giải phương trình $(x+1)\left ( 2+\sqrt{x^{2}+2x+4} \right )-2x\left ( 2+\sqrt{4x^{2}+3} \right )=0$

Bài 2.
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}+8y^{3}-4xy^{2}=1\\ 2x^{4}+8y^{4}-2x-y=0 \end{matrix}\right.$

Bài 1: Xét $f(t)=t(2+\sqrt{x^2+3})....\Rightarrow x=1$
Bài 2: đặt $a=\frac{x}{y}, b=\frac{1}{x^3} \Rightarrow a=1....$

Giải bpt $\frac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2(x^2-x+1)}}\geq 1$

Ta có $\sqrt{2(x^2-x+1)}=\sqrt{x^2+1+(1-x)^2}>1$.
Suy ra $x-\sqrt{x}\leq 1-\sqrt{2((x-1)^2+x)} \Leftrightarrow 1-x+\sqrt{x}\geq \sqrt{2((x-1)^2+x)}$
Mà $\sqrt{2((x-1)^2+x)} \geq ||1-x|+\sqrt{x}|=|1-x|+\sqrt{x}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}&0 \leq x \leq 1\\&1-x=\sqrt{x}\end{matrix}\right. \Rightarrow x=\frac{3-\sqrt5}{2}$

Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-xz-zy=3 & \\ x^{2}+y^{2}+yz-zx-2xy=-1 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-xz-zy=3,(1) & \\ x^{2}+y^{2}+yz-zx-2xy=-1(2) & \end{matrix}\right.$
$2(2)+(1)\Rightarrow 4x^2+4y^2+z^2+2yz-4xz-4xy=0 \Leftrightarrow (z-2x+y)^2+3y^2=0 \Rightarrow y=0\wedge z=2x$
Thế vào $(2) \Rightarrow (x, y, z) \in {(1, 0, 2), (-1, 0, -2)}$

a, b, c dương thỏa
$\frac{1}{a}+$$\frac{1}{c}=$$\frac{2}{b}$
CMR:
$\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}\geq 4$

$\frac{1}{a}+$$\frac{1}{c}=$$\frac{2}{b} \Rightarrow \frac{a}{2a-b}=\frac{c}{b}, \frac{c}{2c-b}=\frac{a}{b}$
$\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}\geq 4 \Leftrightarrow \frac{3a}{2a-b}+\frac{3c}{2c-b}\geq6$
$\Leftrightarrow \frac{c}{b}+\frac{a}{b}\geq 2$
mà $(a+c)(\frac1a+\frac1c)\geq4$ nên ta có dpcm

Cho a,b,c dương và abc=1
Tìm Max $\frac{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1}}{a+b+c}$

đã xóa

Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

$ \frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}} + \frac{2y^{2}+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^{2}} + \frac{2z^{2}+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^{2}}\geq1$

$\sum_{cyc}\frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}}=\sum_{cyc}(\frac{x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}} + \frac{z^2}{(x+\sqrt{yz}+y)^{2}})\geq\sum_{cyc}\frac{(x+\sqrt{xy}+z)^2}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}+(x+\sqrt{yz}+y)^{2}}\geq 1$

Cho a,b,c là các số dương thoả mãn $a+b+c=1$.CMR
$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$

Ta có $0 < a, b, c < 1$
$\sum_{cyc}\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\sum_{cyc}\frac{1-c}{\sqrt{(1-b)(1-a)}}\geq\frac{(\sum_{cyc}\sqrt{1-c})^2}{\sum_{cyc}\sqrt{(1-a)(1-b)}}\geq 3$

giúp tớ gpt vô tỉ này

$2(x^2+x-1)^2=3-2x^2-2x+\sqrt{4x+5}$

$2(x^2+x-1)^2=3-2x^2-2x+\sqrt{4x+5}$
điều kiện $x\geq -\frac54$
$\Leftrightarrow 2(x^2+x-1)^2+2(x^2+x-1)-1=\sqrt{4x+5}\geq 0$
$\Rightarrow x^2+x-1\geq \frac{-1+\sqrt3}{2}\Leftrightarrow x\le-\frac12-\frac{\sqrt{3+2\sqrt3}}{2}\vee x\geq-\frac12+\frac{\sqrt{3+2\sqrt3}}{2}\Rightarrow x\geq-\frac12+\frac{\sqrt{3+2\sqrt3}}{2}$
Xét $f(x)=2(x^2+x-1)^2-3+2x^2+2x-\sqrt{4x+5}$ có $f'(x)=4(2x+1)(x^2+x-1)+4x+2(1-\frac{1}{\sqrt{4x+5}})>0, \forall x\geq-\frac12+\frac{\sqrt{3+2\sqrt3}}{2}$. vậy $f(x)$ đồng biến mà $f(1)=0 \Leftrightarrow x=1$ là nghiệm duy nhất.

Bài 2: Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Gọi $M,N,P$ là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 đoạn $AB', AC', B'C$ sao cho $\frac{AM}{AB'}=\frac{C'N}{AC'}=\frac{CP}{CB'}=x$

• Tìm x để $(MNP)//(A'BC')$. Khi đó hãy tính diện tích của thiết diện cắt bởi $mp(MNP)$, biết tam giác $A'BC'$ là tam giác đều cạnh $a$.
  
• Tìm tập hợp trung điểm của $NP$ khi $x$ thay đổi.

Bài 3: Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$, có đáy là hình thang với $AD=CD=BC=a$, $AB=2a$. Mặt phẳng $(P)$ qua $A$ cắt các cạnh $BB',CC',DD'$ lần lượt tại $M,N,P$.

• Tứ giác $AMNP$ là hình gì? So sánh $AM$ và $NP$.
  
• Tìm tập hợp giao điểm của $AN$ và $MP$ khi $(P)$ di động
  
• CMR: $BM+2DP=2CN$

Bài 2a. Gọi $I, J$ là trung điểm cả $AB'$ và $CC'$ nên ta có
$MNP)//(A'BC')\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}MN//C'I\\MP//AC\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{AM}{AI}=\frac{AN}{AC'}\Leftrightarrow x=\frac13\Rightarrow S_{MNP}=\frac29S_{A'BC'}=\frac29a^2\sqrt3$
b. $2\vec{C'K}=\vec{C'P}+\vec{C'N}\Leftrightarrow 2\vec{C'K}=\frac{\vec{C'I}+(x-1)\vec{C'J}}{x}\Rightarrow I, J, K$ thẳng hàng. Vậy $K \in IJ$
Bài 3a. $(APD), (BCMN), (CDD'C')$ đôi một cắt nhau tại $DP, CN, IJ$ mà $DP//CN \Rightarrow DP//CD//IJ$
$\Rightarrow \frac{JP}{JA}=\frac{ID}{IA}=\frac{IC}{IB}=\frac{JN}{JM}=\frac12 \Rightarrow PN//AM, \frac{PN}{AM}=\frac12$
b. Gọi $G=PM\cap AN \Rightarrow G\in (DBB'D')\cap (ACC'A')$
c. $DP//IJ/CN//BM \rightarrow 2CN=BM+IJ=BM+2DP$