nemo

Cảm ơn pác nemo nhiều. Nhưng hình như pác chưa hiểu ý em cho lắm. Em đã nói là nếu "dỡ bỏ cái cầu Noether" mà. Liệu có một chứng minh thuần túy mà không phải viện đến tính chất Noether của vành hay môđun không nhỉ?

M là f.g module trên PID A, ta có M đẳng cấu với một module thương của một free module với cơ sở hữu hạn, ta viết M~$A^n/Q$. Một module con của M sẽ có dạng B/Q với B là module con của $A^n$. Chỉ cần CM B f.g là đủ, đến đây có nhiều cách và một trong đó là dùng kq rất đẹp về module con của free module trên PID cũng là free module, và như thế ta còn đánh giá được số lượng phần tử sinh của một module con so với số lượng phần tử sinh của M.

Em vừa mới dự một vài buổi về Knot theory, trong đó có nói rằng mỗi nghiệm của phương trình Yang-Baxter (nghiệm này là một biểu diễn tuyến tính của Braid group) cho tương ứng một knot invariant (or link), vậy nếu hai nghiệm khác nhau thì hai bất biến tương ứng có khác nhau không vì theo em thấy có vẻ bất biến này chính là đa thức Jones !?

Chào các bác. Mình vô tình đọc được một bài tập nhỏ: "Trên vành chính, mọi môđun con của môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh". Thế nhưng vành chính là vành Noether nên bài toán trở nên tầm thường nếu ta bắc cái cầu Noether. Nếu ta dỡ bỏ cái cầu này thì sao nhỉ?

Module hữu hạn sinh trên vành Noether là module Noether nên module con và module thương của nó cũng hữu hạn sinh (mà mạnh hơn là cũng Noether).

Module trên PID (vành chính) có rất nhiều tính chất thú vị như, xạ ảnh ~ tự do, module con của module tự do cũng tự do,... nhưng không có khi tổng quát cho vành Noether.

Mình có một bài tập nhỏ thế này, các bạn quan tâm và đang học Commutative Algebra thì làm cho vui.

Bài tập:
Cho A là một vành Noetherian (Nơte), I là một ideal thực sự của A và P là một minimal prime ideal (ideal nguyên tố tối tiểu) chứa I. Kí hiệu S = A\P. Hãy chứng minh rằng $ S^{-1}I $ là một $S^{-1}P$ - primary ideal trong $ A_{P} = S^{-1}A $.

Tồn tại một tương ứng một-một từ $Spec(A_{P})$ tới tập các ideal nguyên tố của A chứa trong P. Vì vậy $S^{-1}P$ sẽ là ideal nguyên tố tối tiểu của $S^{-1}I$ trong $A_{P}$. Từ $S^{-1}P$ là ideal tối đại duy nhất nên suy ra điều cần chứng minh !

(Hy vọng vẫn còn nhớ đúng một vài điều )

Chiều ngược lại cũng đúng. R là vành giao hoán có 1 và R[x] là PID thì R là trường.

R[X]/<X> ~ R. Vậy nếu R là field thì <X> là maximal ideal of R[X], điều này đâu có đúng với một commutative ring bất kỳ !

Còn với bạn "Evarister Galois" gì đó, bạn hãy nói thử làm sao suy ra được R không là trường thì có <2X-1> không tối đại trong vành R[X] (!?).

Bạn định dựa vào một well-known theorem đó là K is field -> K[X] is PID (!?), tiếc là định lý này không có phần đảo (ít nhất là chưa nghe thấy bao giờ ??). Hy vọng mọi chuyện không phải thế.