Tìm kiếm
Nam
Hoành độ giao điểm của $(C)$ và trục hoành là nghiệm của phương trình
\begin{equation} \label{J3} \frac{x^2-x+m}{x-1} = 0 \Leftrightarrow \begin{cases}x^2-x+m = 0 \\ x \neq 1.\end{cases}\end{equation}
Đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình thứ nhất của $\eqref{J3}$ có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều này tương đương với
\begin{equation} \label{J4} \begin{cases}\Delta = 1 - 4m > 0 \\ 1^2-1+m \neq 0\end{cases} \Leftrightarrow 0 \neq m < \dfrac{1}{4}.\end{equation}
Với điều kiện $\eqref{J4}$, Đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $A(x_1,0),B(x_2;0)$. Khi đó: $x_1x_2= m; x_1+x_2=1$.
Tiếp tuyến tại $A,B$ vuông góc khi và chỉ khi
\begin{align*}y'(x_1).y'(x_2)=-1 & \Leftrightarrow \dfrac{2x_1-1}{x_1-1}.\dfrac{2x_2-1}{x_2-1} = -1 \\&\Leftrightarrow \dfrac{4x_1x_2-2(x_1+x_2)+1}{x_1x_2-(x_1+x_2)+1}=-1\\&\Leftrightarrow \dfrac{4m-1}{m}=-1 \\&\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{5} \quad \text{(Thỏa mãn } \eqref{J4})\\\end{align*}
Vậy $m=\dfrac{1}{5}$ là nghiệm của bài toán.
