Đến nội dung


E. Galois

Đăng ký: 23-11-2009
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 21:18
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Tính khoảng cách từ tâm quả táo đến chiếc đũa

18-08-2022 - 11:05

Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho trục của khối trụ là trục $Oz$, tâm $I$ của khối cầu thuộc trục $Ox$. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $I$ của khối cầu đến trục của hình trụ. Khi đó $I(d;0;0)$. Phần chung $\mathcal{H}$ của khối trụ và khối cầu là một thể trụ nên có thể tích là:

$$v=\iiint_{\mathcal{H}}dxdydz=\iint_{\mathcal{D}}\sqrt{R^2-(x-d)^2-y^2}dxdy,$$
trong đó $\mathcal{D}$ là hình chiếu của $\mathcal{H}$ lên mặt phẳng $(Oxy)$. Dễ thấy $\mathcal{D}$ là hình tròn tâm $O$, bán kính $r$. Do đó:

$$v=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-(\lambda \cos \varphi -d)^2-\lambda^2\sin^2 \varphi} d\lambda=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-d^2-\lambda ^2 + 2d\lambda\cos \varphi } d\lambda$$

 

Về mặt lý thuyết thì có thể tính được tích phân $\int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-d^2-\lambda ^2 + 2d\lambda\cos \varphi } d\lambda$ bằng cách đổi biến và tách thành hai tích phân dạng $\int_{m}^{n}\sqrt{a^2-x^2}dx$, $\int_{m_2}^{n_2}\sqrt{a^2-x^2}xdx$. Nhưng rõ ràng là nó chả dễ tẹo nào.

Anh Thanh giúp em mở mang tầm mắt với, hic hic 


Trong chủ đề: Giải tích 12: Cực trị của hàm số

15-08-2022 - 23:17

https://diendantoanh...a-2b-2x-a-nb-n/

Em có tìm được một bài viết , vậy liệu trường hợp này có đúng ko ạ.

 

Đối với hàm số đa thức thì đúng.

 

Mệnh đề. Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ bậc $n$. Nếu $f(x)$ có đúng $n$ nghiệm phân biệt thì nó có đúng $n-1$ cực trị. 

Chứng minh: Vì $y=f(x)$ là hàm đa thức nên nó liên tục, khả vi trên $\mathbb{R}$.

Giả sử $y=f(x)$ có $n$ nghiệm phân biệt là $x_1<x_2<...<x_n$. Ta chứng minh trong khoảng $(x_1;x_2)$, hàm số có ít nhất 1 cực trị. Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $(x_1;x_2)$, $f(x_1)=f(x_2)=0$ và $f(x) \neq 0, \quad \forall x \in (x_1;x_2)$ nên tồn tại ít nhất một hằng số $c \in (x_1;x_2)$ sao cho trong hai khoảng $(x_1;c), (c;x_2)$, hàm số  $f(x)$ đồng biến trong khoảng này và nghịch biến trong khoảng kia. (nếu không, hàm số đơn điệu 1 chiều trên $(x_1;x_2)$ thì $f(x_1) \neq f(x_2)$).

Vậy $x=c$ là một cực trị của hàm số $y=f(x)$

Từ đó suy ra hàm số $y=f(x)$ có ít nhất $n-1$ cực trị. 

Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục, khả vi trên $\mathbb{R}$ nên mỗi cực trị là nghiệm của $f'(x)=0$. Nhưng $f'(x)=0$ là đa thức có bậc $n-1$ nên có tối đa $n-1$ nghiệm. 

Vậy $f(x)$ có đúng $n-1$ cực trị
 


Trong chủ đề: Giải tích 12: Cực trị của hàm số

15-08-2022 - 11:37

1) $f(x)=\begin{cases} \begin{matrix}  x^2 & khi  & x \leq 1 \\   x & khi & 1 <x \leq 2 \\  2 & khi & 2 \leq x \leq 3\\ -2x+8 & khi & x > 3\end{matrix} \end{cases}$

Hàm này không có cực trị trong $(0;4)$ dù thỏa mãn các giả thiết.
 
2) $f(x)=x^2(x-1)$ Hàm này có đúng 1 cực trị trong $(0;1)$ dù thỏa mãn các giải thiết

Trong chủ đề: Giải tích 12: Cực trị của hàm số

15-08-2022 - 11:12

File gửi kèm  hh.jpg   33.25K   2 Số lần tải

 

Hình thứ nhất: không có cực trị

Hình thứ hai: có 1 cực trị

Hình thứ ba: có nhiều cực trị


Trong chủ đề: Tìm bán kính, chiều cao của hình viên phân biết dây cung và cung

15-08-2022 - 10:12

Có thể người ta xấp xỉ hàm ngược này bằng chuỗi
$\text{sinc }x=\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+…$
Chỉ lấy $2$ số hạng đầu ta được xấp xỉ:
$\text{sinc }x=\frac{\sin x}{x} \approx 1-\frac{x^2}{3!}$
Nên $\text{sinc}^{-1}x \approx \sqrt{6(1-x)}$
 

Ban đầu em cũng làm như anh Thanh là dùng chuỗi hàm đề xấp xỉ. Tuy nhiên sai số lớn quá so với yêu cầu của bạn em. Họ yêu cầu sai số không vượt quá 5mm đối với 100m. Do vậy em giải phương trình bằng phương pháp Newton
 

Đặt $x=\frac{l}{2R} \in \left ( 0; \frac{\pi}{2} \right)$ ta thu được phương trình

$$f(x)=\sin x - \frac{w}{l}x  = 0$$

Ta giải phương trình này bằng phương pháp Newton. Ta có:

$$f'(x)=\cos x - \frac{w}{l}; \quad f''(x)=-\sin x$$

Ta lập dãy

$$\begin{cases}x_0 = \dfrac{\pi}{2} \\ x_{n} = x_{n-1}-\dfrac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}=x_{n-1}-\dfrac{\sin(x_{n-1})-\dfrac{w}{l}x_{n-1}}{\cos(x_{n-1})-\dfrac{w}{l}}, \quad \forall n \geq 1\end{cases}$$

 

Sau đó chỉ cần dùng 1 file Excel là có thể cho ra kết quả với sai số tùy ý, thường thì các số liệu thực tế sẽ cho kết quả ở bước 6.

 

p/s: Hình như Diễn đàn không cho up file Excel