riddle???

Mấy đề sau tối nay em post, thời gian làm thì cho đến hết ngày mai!

Câu 1 nè:
Đầu tiên ta tìm quỹ tích của trung điểm BC. Theo phép vị tự ta dễ có đó là hình tròn tiếp xúc trong với (ABC), tạm gọi là đường tròn (I)
Lấy M' là TĐ của AB. Khi đó MM' song song AC tức là MM' vuông góc với MH.
Do M' là điểm cố định nên MH sẽ đi qua điểm T sao cho M'T là đg kính của (I).

huh, đề còn viết là nội tiếp cơ mà....!!!Nhưng nếu là bàng tiép thì mình phải nghĩ xíu!

Còn bài 1 tùi thế là quá đúng rồi.
Nếu tổng quát thì lấy điểm P thuộc AB sao cho BP/AP=k/q
Khi đó ta cũng kéo dài NP cắt cung nhỏ AB tại Q, và cũng có $k.QA=q.QB.$

Bây h lại dùng ptoleme

$AM.BQ+BM.AQ=AB.MQ.
<=> AM.BQ+BM. \dfrac{q}{k}.BQ =AB.MQ
<=> (AM+BM. \dfrac{q}{k}).BQ=AB.MQ$

Nhân 2 vế với k.
$<=> k.AM+q.BM= \dfrac{AB.MQ.k}{BQ}$

Nhận xét là AB,BQ cố định nên $k.AM+q.BM max = \dfrac{AB.k.2R}{BQ}$ khi MQ là đường kính.

Bài 2 thì để đi học về giải nốt nhé, bb.

Okie, lâu lắm rồi mới lên Diễn đàn... Giải thử tí coi!!!

Bài 1:
Bài này khá quen...
Để cho dễ viết, mình sẽ lấy với trường hợp đặc biệt là MA+2MB chẳng hạn. Rồi sau đó tương tự dễ thôi...!!
Lấy N là trung điểm cung lớn AB. P là điểm thuộc đoạn AB sao cho AP=2BP.
Kéo dài NP cắt cung nhỏ AB tại điểm Q.
Khi đó theo tính chất đg PG thì QA=2QB.
Sau đó dùng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp AMBQ.
$AM.BQ+BM.AQ=AB.MQ
<=>(AM+2BM).BQ=AB.MQ$
Dễ thấy Q cố định nên AM+2BM lớn nhất khi MQ lớn nhất tức là MQ là đg kính....!

Đối với bài tổng quát chỉ cần thay tỉ số 1:2=k:q là giải đc...!

Bài 2:
Cái này là hệ thức Euler, CM dễ thôi, chỉ cần dùng phương tích. Nhanh hơn nữa thì dùng lượng giác.
Bài này sẽ nảy ra 1 hệ quả là với mọi tam giác $R \geq 2r$.
Cứ tự CM đi, ko hề khó đâu...!

Bây h là hai bài toán mở rộng mà rid? nghĩ ra từ 2 bài trên...hehehe!!Khó hơn nhiều đấy!

Bài 1: Cho (O) và 2 điểm cố định A,B. M chuyển động trên cung lớn AB. E là tâm đường tròn chín điểm Euler của tam giác MAB.
Tìm max: EA+EM+EB.
Lưu ý: Bài toán này còn đúng với E là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, và còn mấy điểm nữa rid đang thử tìm max.

Bài 2: CMR:Trong một tam giác bất kì, bình phương khoảng cách từ tâm đg tròn nội tiếp tam giác tớ trọng tâm tam giác luôn bằng:
$\dfrac{1}{9} (p^2+5r^2-16Rr)$ với p là nửa chu vi.

Good luck!

Cứ làm phát screenshot rồi upload lên