Mình có cách này (nhưng mình nghĩ ko hay lém, bạn nào có cách khác hay hơn post típ nha;)con 1 cach
Cách3:Vì VP chia hết cho 3 nên $x^3$ + $y^3$ chia cho 3 dư 2
*Nếu x chia 3 dư 2 , y chia hết cho 3 thì $ x^3$ chia 9 dư 8, $y^3$ chia hết 9 suy ra VT không chia hết cho 9, khác vế phải. pt vn (tương tự khi y chia 3 dư 2, x chia hết cho 3)
Nếu x,y chia 3 dư 1 thì đặt x=3c+1, y=3d+1(c,d nguyên không âm), pt tương đương : $c^3$ + $d^3$ + $c^2$ + $d^2$ = cd
Áp dụng Cauchy cho 4 số dương thì
cd $>=$ 4cd.$ \sqrt{ cd}$.
*Nếu cd khác 0 chia 2 vế cho cd được cd $<=1/16$ vô lí vì c,d nguyên dương
Nếu c=d=0 BĐT đúng, thử vào pt thấy thỏa mãn .
Vậy (x;y)=(1:1) là nghiệm nguyên dương duy nhất của pt