Đến nội dung

analysis90

analysis90

Đăng ký: 14-08-2010
Offline Đăng nhập: 02-09-2012 - 00:28
*****

Trong chủ đề: Đề thi ôn tập thường xuyên của ĐHĐT

01-04-2012 - 12:13

Exercise 3. We have $\int_0^1f^2(x)dx\int_0^2(3x-2)^2dx\geq (\int_0^1f(x)(3x-2)dx)^2$.

Trong chủ đề: Ôn thi Olympic Toán học sinh viên 2015 [Giải tích]

09-03-2012 - 08:25

Problem 5. Assign $g(x)=e^x[f(x)-1]+1$. We have $g'(x)=e^x[f(x)-1+f'(x)]<0$. So,
$e[f(1)-1]+1=g(1)<g(0)=0$
If $f(x)+f'(x)<1$ then there don't exist $f(x)$.

Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển Olympic SV 2012 môn Giải tích - ĐHKHTN, ĐHQGHN

04-03-2012 - 22:03

Problem 2. Every $x\in[0,2]$, we have
$f(x)=f(x)-f(0)=f'(\theta_1)x,\theta_1\in(0,x)\geq-2x$
$f(x)-f(1)=f'(\theta_2)(x-1),\theta_2\in(x,1)\Rightarrow f(x)\geq 2x-1$.
So,
$\int_0^1f(x)dx=\int_0^\frac{1}{4}f(x)dx+\int_\frac{1}{4}^1f(x)dx
\geq \int_0^\frac{1}{4}-2xdx+\int_\frac{1}{4}^1 (2x-1)dx=\dfrac{1}{8}$
But $f(x)=\left\{\begin{matrix}
-2x &x\in[0,\frac{1}{4}] \\
2x-1&x\in[\frac{1}{4},1]
\end{matrix}\right.$
isn't continuous at $x=\dfrac{1}{4} $.

Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển Olympic SV 2012 môn Giải tích - ĐHKHTN, ĐHQGHN

04-03-2012 - 20:38

problem 3. For all $\epsilon>0,\exists n_0$ such that $|2a_{n+1}-a_n-2012|<\epsilon,\forall n\geq n_0$. Hence,
$|2(a_{n+1}-2012)-(a_n-2012)|<\epsilon$
Implies
$|a_{n+1}-2012|<\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{1}{2}|a_n-2012| <\dots<\epsilon(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2^{n-n_0}})=\epsilon(1-(\dfrac{1}{2} )^{n-n_0})<\epsilon$
We have $\lim a_n=2012$

Trong chủ đề: Đề thi Olympic toán sinh viên cấp trường của Đại học kinh tế quốc dân năm...

03-03-2012 - 13:16

Problem 2. We have $g(0)=0$ and $g(x)$ be a continuous. Integral both sides, we get
$\int_0^xg(y)dy=(\int_0^yf(t)dt)^{2012}\geq 0$.
Assign $h(x)=\int_0^xg(t)dt$. So, we have $h'(x)=g(x)$.
Because $g(x)$ be a nonincreasing, so $g(x)\leq g(0),\forall x\in[0,+\infty)$. Therefore
$h'(x)\leq 0,\forall x\in[0,+\infty)$ or $h(x)\leq h(0)=0,\forall x\in[0,+\infty)$
Implies
$h(x)=0,\forall x\in[0,+\infty)$.
Similarly for $x\in(-\infty,0]$. We have $h(x)=0$ or $g(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$.
When $\int_0^xf(t)dt=0,\forall x\in\mathbb{R}$. Easily, we prove that $f(x)=0$