h.vuong_pdl

Mọi người hướng dẫn mình cách giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} (x-1)y^2+x+y=3\\ (y-2)x^2+y=x+1 \end{matrix}\right.$

 

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} y^{2}=\left ( 5x+4 \right )\left ( 4-x \right ) & & \\ y^{2}-5x^{2}-4xy+16xy-8y+16=0& & \end{matrix}\right.$

Phương trình THCS + xét theo thứ tự thì có vẻ $-4xy + 16x$ chứ không phải là 16xy như trên.

 

thêm nữa: $y^{2}-5x^{2}-4xy+16x-8y+16=0$, "nhốt" hết y vào bình phương thấy đẹp: $(y - 2x - 4)^2 = 9x^2$

 

Nên 80% đề đúng phải là: $\left\{\begin{matrix} y^{2}=\left ( 5x+4 \right )\left ( 4-x \right ) & & \\ y^{2}-5x^{2}-4xy+16x-8y+16=0& & \end{matrix}\right.$

$4\sqrt{1-x}-5\sqrt{1+x}+3\sqrt{1-x^{2}}=x+6$

Đặt $\sqrt{2}\sin t = \sqrt{1-x}; \sqrt{2}\cos t = \sqrt{1 + x}$ thì phương trình đã cho trở thành:

 

$4\sqrt{2}\cos t - 5\sqrt{2}\sin t + 3\sin 2t = 5 + 2\sin^2t (*)$.

 

Đến đây biến đổi hơi kém, không biết xoay xở thế nào nữa, đành dựa vào nghiệm giải theo hướng trâu bò sau:

 

Đặt $ a = \sin\left(t - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin t}{\sqrt{2}} - \frac{\cos t}{\sqrt{2}}; b = \cos \left(t - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin t}{\sqrt{2}} + \frac{\cos t}{\sqrt{2}}$

 

Khi đó: $ a + b = \sqrt{2}\sin t; b - a = \sqrt{2}\cos t; a^2 + b^2 = 1$. thay vào phương trình (*) ta có:

 

$ (*) \Leftrightarrow 4(b-a) - 5(a+b) + 3(b^2-a^2) = 5 + 2(a+b)^2 \Leftrightarrow b(2a + 1) + 4a^2 - 2b^2 + 5 + 9a = 0$

 

$\Leftrightarrow b(2a+1) + 6a^2 + 9a + 3 = 0 \Leftrightarrow (2a + 1)(b + 3a + 3) = 0 \text{ ( do }a^2 + b^2 = 1\text{ )}.$

 

đến đây thì ok rồi. giải tiếp bạn sẽ ra kết quả phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x = \frac{-\sqrt{3}}{2}$.

Bạn có thể đi theo một số hướng giải như sau:

Bài 1/ vận dụng Hằng đẳng thức: $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$ và tinh tế 1 chút

đặt thứ tự 3 căn bậc 3 là $a, b, c$ thì sẽ có: $a + b = c.$

Lập phương 2 vế: $a^3 + b^3+3ab(a+b)=c^3 \Leftrightarrow c^3-a^3-b^3=3abc$

Sau chỉ cần rút gọn và lập phương 1 lần nữa sẽ đưa về giải phương trình bậc 3. ok!

Bài 2/ Nhìn vào pt này, bạn sẽ nghĩ ngay đến phương pháp chuyển vể hệ phương trình đối xứng kiểu II. Cái quan trọng và phải có chút xử lí cơ bản nữa.

dạng tổng quát của nó là: $x^3 = a\sqrt[3]{ax+b}+b.$ Khi đó đặt $y =\sqrt[3]{ax+b} $ ta sẽ có hệ đối xứng kiểu II.

$\left\{\begin{matrix}x^3=ay+b\\y^3=ax+b\end{matrix}\right.$

Với hệ này, nếu để nguyên như thế thì không dễ nhận ra, nhưng khi đặt $2x-1=y,$ ta thấy ngay dạng của nó:

$pt \Leftrightarrow 2y^3=\sqrt[3]{\frac{y+1}{2}}+1\Leftrightarrow y^3=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{y}{2}+\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}.$

Đến đây bạn đặt theo TQ trên nữa là ok!.

Bài 3/. theo mình nghĩ, đưa về bài toán hình như phân tích nhân tử giống bài 1.
dạng $a+b=c+d$ rồi biến đổi.

Bài hệ phương trình thì có thể giải hơi "cùn" ( nhưng theo mình cũng khá thú vị).

Nhẩm thấy phương trình trên dưới đều có nhân tử x^2+y nên ta sẽ xoay quanh cái này.

Thật vậy, đặt $y =tx^2$, chú ý x = 0 là 1 nghiệm, x # 0 ta sẽ rút gọn hệ:

$\left\{\begin{matrix}t^3.x^3=9-x^3\\tx^3+t^2x^3=6\end{matrix}\right.$

Giải hệ này, ta nhân pt sau với 3/2 rồi trừ theo vế, rút gọn $x^3$ ta đưa về pt bậc 3 ẩn t mà có 1 nghiệm t = 0 rồi. từ đó sẽ giải tiếp được/

Cảm ơn anh đã ủng hộ nhiệt tình

Bài này em sử dụng định lí Rolle ( Không rõ có được dùng trong thi tỉnh không nhỉ )

$$\text{PT} \Longleftrightarrow 2007^x-(2007-1)^x=2005^x-(2005-1)^x$$

Xét $f(t)=t^x-(t-1)^x \Longrightarrow f'(t)=x.t^{x-1}-x.(t-1)^{x-1}$

Vì $f(2007)=f(2005)$ nên tồn tại $c \in [2005;2007]$ sao cho $f'©=0$, nghĩa là $x$ là nghiệm thì nó phải thoả $f'©=0$ hay

$$x.c^{x-1}-x.(c-1)^{x-1}=0 \Longleftrightarrow x\left ( c^{x-1}-(c-1)^{x-1} \right )=0 \Longleftrightarrow \left[\begin{matrix}x=0\\ x=1 \end{matrix} \right.$$

------------------------------------



Bài này có ở đây rồi anh ! Em quote lời giải qua, mọi người cùng cho ý kiến nhé, một phương pháp hay có điều mình chưa hiểu

"Lấy phương trình $(1).25+(2).50$, nhóm lại ta được $25(3x+y)^2+50(3x+y)-119=0$

Giải phương trình này ta cũng được một hệ bậc nhất với $x,y$."

dạng này anh đã tổng hợp được thành phuơng pháp, đã được giới thiệu trên VMF, mấy đứa có thể tham khảo

@@@ bài này không phải thi HSG Tỉnh nghệ an mà là chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia của Tỉnh Nghệ An ( tuyển TST gì đó thì phải ).

@@ Qua: tình hình nếu ko có bạn đi cùng, có lẽ anh cũng phải tự đi thôi.

Chỉ là anh ko quen lắm, vẫn hơi ngợp .

Mong gặp ae sớm!

@@@ có ai ở Nghệ An đi không, cho mình đi ké với, chưa bao giờ đi xa nên không biết gì cả.,

Giúp mình vs!

@@@ anh em gặp mặt cho vui, ra làm quen dần dần chớ cần gì giấy mời

Ra HN chơi đê

@@@luxubuhl : cùng các bạn chém rất nhanh + gọn, nhưng mình nghĩ chúng ta nên đi sâu hơn nữa vào các bài toán.

ví dụ: như mình thấy, phần đa các bài trên có thể tuyển thành 1 pp: phân tích về dạng f(x) = f(y) rồi khảo sát hàm.

để đi sâu, các bạn đăng thêm các bài cùng dạng, cùng phân tích hướng suy nghĩ, cách mà mình hay làm........v.v.....

Sau nữa, cùng thảo luận các bài khó, tìm ra hương giải tự nhiên. Mình thấy trong topic này toàn các bạn giỏi. Vì thế hãy chịu khó đầu tư vào topic này. Nhất định các bạn sẽ học hỏi nhau nhiều từ topic này!

@@@ h.vuong_pdl đã xe đất lìa trời . Nhìn các mem 11 chém mà thèm 1 thời đi học, 1 thời trên VMF. (

Chúc mấy đứa thành công!

@@@All: hahahaa, vui quá, cuối cùng cũng được đi Hà Nội rồi, bất ngờ đến bất ngờ )

@@ Hoàng: sắp được gặp chiến hữu rồi. Nếu Việt, lâm + ae đi nữa thì vui quá ak!

3. Phạm Hùng Vương, lớp 12C1 trường THPT Phan Đăng Lưu, Yên Thành, Nghệ An.

em không biết chọn sách nào ak, các anh cứ tự chọn và em rất cảm ơn món quà của VMF ak.,

em cũng chưa quyết được đi offline hay không ak

7/ em cũng nhận được rồi ak.

@@@ em đăng kí ở Vinh, giờ các anh chuyển địa điểm HN nên để em suy nghĩ thêm xem điều kiện có cho phép ko cái đã ak

haizzz! Lí + Hóa V tính sơ sơ được khoảng 19, nhưng mà toán sai 3 câu, ngu quá]

thôi! thế là hết rồi!

híc, thế là ae ( Lâm, Việt, Hoàng) đều ổn cả rồi. V thì mất toi 2 điểm ( câu 6, 8a, 9a).

nói chung cái gì cũng có cái giá của nó nhưng vẫn thấy tiếc quá. haizzzz!

chúc ae nếu có thi khối B thì cố gắng hết mình + làm bài tốt nhé! ( v ko thi)

@@@: cảm ơn anh PSW cùng tất cả các bạn VMF. K_1994_VMF nhất định sẽ cố gắng hết mình cho kì thi sắp tới này.

Nhân đây chúc anh em 1994 chúng ta lên đường mạnh khỏe, luôn bình tình suy nghĩ để xử lí mọi tình huống. ( còn về kiến thức thì mình tin ở các bạn ).

NGẨNG CAO ĐẦU VỮNG BƯỚC ĐẠP GIAN NAN.

@@@ anh PSW: híc, nói thật với anh là giờ em nhìn thấy BĐT ntn nào ấy, ( không còn chút ý tưởng nào nữa rồi (

Xuất quân!