dark templar

Em tự vẽ hình theo dõi nhé !

Gọi O,I là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC,M là giao của phân giác góc B với (O)
Kẻ đường kính qua O,I cắt (O) tại 2 điểm là N,P
Có $R^2-OI^2=(R+OI)(R-OI)=(ON+OI)(OP-OI)=IN.IP$
Mà $IN.IP=IB.IM$(cm bằng tam giác đồng dạng)
Nên $BI.IM=IN.IP=R^2-OI^2=R^2-d^2(1)$
Tam giác ICM cân tại M(vì $ \widehat{CIM} = \widehat{ICM} =\dfrac{B+C}{2}$)$ \Rightarrow MC=MI$
kẻ đường kính MK của (O) và kẻ $ID \perp BC$ ta cm đc 2 tam giác MKC và IBD đồng dạng nhau
$ \Rightarrow \dfrac{MK}{MC}=\dfrac{IB}{ID}$
Do $MK=2R,ID=r,MC=MI$ nên $2Rr=MK.ID=IB.MC=IB.IM=R^2-d^2(2)$
Từ (1) và (2)$ \Rightarrow dpcm$

công thức tính đường rung tuyến:
$AM = \sqrt{\dfrac{2(AB^2+CA^2)-BC^2}{4}}(1).$

Công thức dính đến góc :
$AM=m_a=\dfrac{\sqrt{b^2+c^2+2bccosA}}{2}(2)$

làm sao chứng minh mấy cái công thức trên?

cÔNG THỨC (1):
CM định lý Stewart:
"Gọi D là điểm nằm trên cạnh BC của tam giác ABC.Khi đó ta có :
$AB^2.DC+AC^2.BD-AD^2.BC=BC.BD.DC$"
[u]CM
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.(giả sử H nằm giữa D và C).Áp dụng hệ thức lượng trong 2 tam giác ACD và ABD,ta có :
$AC^2=AD^2+DC^2-2DC.DH,AB^2=AD^2+BD^2+2BD.DH$
Từ 2 đẳng thức trên suy ra:
$AC^2.BD+AB^2.DC=AD^2.(BD+DC)+DC^2.BD+BD^2.DC$
$=AD^2.BC+BD.DC.BC$(đpcm)
Áp dụng định lý trên cho trung tuyến AM ,ta có :
$AB^2.MC+AC^2.MB-AM^2.BC=MB.MC.BC$
$<=>MB(AB^2+AC^2-2AM^2)=MB.\dfrac{BC^2}{2}$
$<=>AM^2=\dfrac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4}$(ĐPCM)
CÔNG THỨC (2) THÌ BẠN PHẢI CM ĐỊNH LÝ SAU ĐÂY (GỌI LÀ ĐỊNH LÝ COS)
$cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
lấy cái này thế vào công thức (2) rồi biến đổi tương đương =>công thức (1)

Cho ABC có trung tuyến AM. Tính AM theo AB,CB,CA, góc BAC, B, C.

Công thức dính đến góc :
$AM=m_a=\dfrac{\sqrt{b^2+c^2+2bccosA}}{2}$

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O,R).Gọi Q là tâm đường tròn Ơ-le của tam giác ,M,N,P lần lượt là giao điểm của (O) với QA,QB,QC.(Q là trung điểm HO với H là trực tâm của tam giác ABC)
$CMR:\dfrac{1}{QM}+\dfrac{1}{QN}+\dfrac{1}{QP} \geq \dfrac{3}{R}$
P/s:Bạn nào có ý tưởng nào cứ nêu ra để tham khảo!

bài 2 :Do$abc=1(a,b,c>0)$ nên đặt $a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y},c=\dfrac{1}{z} \Rightarrow x,y,z>0; xyz=1$
BĐT$ \Leftrightarrow \dfrac{x^5.y}{x+y} +\dfrac{y^5.z}{y+z} +\dfrac{z^5.x}{z+x} \geq \dfrac{3}{2}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{x^4}{zx+zy)} +\dfrac{y^4}{xy+xz)} +\dfrac{z^4}{yx+yz)} \geq \dfrac{3}{2}$
Có $VT \geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(xy+yz+zx)}$(BĐT Cauchy-Schwarz)
$\geq \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{2(xy+yz+zx)}=\dfrac{xy+yz+zx}{2} $
$\geq \dfrac{3\sqrt[3]{x^2.y^2.z^2}}{2}=\dfrac{3}{2}$(do $xyz=1$ và BĐT AM-GM)

Pt sai phân có rất nhiều dạng (thuần nhất ,ko thuần nhất,cấp k..).Bạn có thể kiếm sách của Nguyễn Văn Mậu,cuốn "Dãy số" để xem cách CM,áp dụng và bt