Nguyenhuyen_AG

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$b) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$ 

Ta có

\[\text{VT - VP} = \frac{a(b^2-ca)^2+c(a^2-2ab+bc)^2+b(ab-2ca+c^2)^2}{abc(a+b+c)} \geqslant 0.\]

Tìm giá trị nhỏ nhất của E = x + y biết x² + y² = 50 và 1 $\leq$ x $\leq$ 7; 1 $\leq$ y $\leq$ 7

Ta có

\[x+y = \sqrt{16 + \frac{2[(7x+27)(x-1)+(20x+7y)(y-1)+y(7-x)]}{19}} \geqslant  \sqrt{16} = 8.\]

Cho $x,y,z \ge 0$. Chứng minh :${x^3} + {y^3} + {z^3} + 2({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x) \ge 3(x{y^2} + y{z^2} + z{x^2})$

Lời giải: https://diendantoanh...ào/#entry474480

cho x,y,z>0 : xy+yz+xz=3. tìm min

A= $2x^{2} +3y^{2} + 4z^{2}$

Bài đẹp nhưng kết quả không đẹp. Đặt

\[P = 2x^{2} +3y^{2} + 4z^{2} - k(xy+yz+zx),\]

khi đó

\[P=\frac18\left( ky+kz-4\,x \right) ^{2}+{\frac{( {k}^{2}y+{k}^{2}z+4kz-24y) ^{2}}{24-{k}^{2}}}+{\frac {{z}^{2}( {k}^{3}+9{k}^{2}-96) }{24-{k}^{2}}}.\]

Như vậy nếu chọn $k$ sao cho ${k}^{3}+9{k}^{2}-96=0,k^2<24$ thì $P \geqslant 0$ tức $P$ có giá trị nhỏ nhất là $3k.$

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\ge \frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$

Viết bất đẳng thức lại dưới dạng thuần nhất

\[f(a,b,c) = \sum \frac{a+b}{c^2} - \frac{5(a^2+b^2+c^2) -ab-bc-ca}{2abc} \geqslant 0.\]

Giả sử $x,y,z$ là ba số thực dương, áp dụng phép thế Ravi ta có

\[f(a,b,c) = f(x+y,y+z,z+x) \equiv f(x,y,z),\]

và

\[f(x,y,z)= \frac{1}{2(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2} \sum (x^3+3x^2y+5xy^2+y^3+2x(x+y-z)^2)(x-y)^2 \geqslant 0.\]