detectivehien

7th Junior Balkan 2003
1. Cho $A=4...4$(2n chữ số), $B=8..8$(n chữ số). CM rằng$A+2B+4 $là 1 số chính phương.

2. $A_1, A_2, ...A_n$ là các điểm trong mặt phẳng, nếu ta đặt các điểm theo thứ tự $B_1,...B_n $tùy ý thì đường gấp khúc$B_1...B_{n-1}$ ko tự cắt. Tìm n max.

3.Cho tam giác ABC. D là trung điểm cung BC ko chứa A của (O) ngoại tiếp tam giác ABC, tương tự với điểm E,F. DE cắt BC ở G và AC ở H.M là trung điểm GH. DF cắt BC ở I và AB ở J. N là trùng điểm IJ. TÌm số đo các góc tam giác DMN theo số đo các góc tam giác ABC. AD cắt EF ở P. CM đường tròn tam giác DMN tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác PMN.


4. CM: $\dfrac{1+x^2}{1+y+z^2}+\dfrac{1+y^2}{1+z+x^2}+\dfrac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq 2$ với $x,y,z >-1$

IN ENGLISH:
1. Let A = 44...4 (2n digits) and B = 88...8 (n digits). Show that A + 2B + 4 is a square.
2. A1, A2, ... , An are points in the plane, so that if we take the points in any order B1, B2, ... , Bn, then the broken line B1B2...Bn does not intersect itself. What is the largest possible value of n?
3. ABC is a triangle. D is the midpoint of the arc BC not containing A. Similarly E, F. DE meets BC at G and AC at H. M is the midpoint of GH. DF meets BC at I and AB at J, and N is the midpoint of IJ. Find the angles of DMN in terms of the angles of ABC. AD meets EF at P. Show that the circumcenter of DMN lies on the circumcircle of PMN.
4. Show that (1+x2)/(1+y+z2) + (1+y2)/(1+z+x2) + (1+z2)/(1+x+y2) ≥ 2 for reals x, y, z > -1.
PS: TỚ dốt E nên hình như dịch câu 2 ko đúng lém . Bạn nào tốt bụng dịch lại hộ

Tập đề này nói chung ko khó, post lên để các bạn tham khảo, đăc biệt là các bạn định thi vào Nguyễn Huệ. Hi vọng được bổ sung đề các năm còn thiếu.

PS: tập đề thi này tớ ko có thời gian chỉnh sửa cho đẹp nên các bạn thông cảm

1.http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x\sqrt{x}+(2x-1).\sqrt{2x-1}=\dfrac{1}{3\sqrt3}((5x-2).\sqrt{5x-2}+(4x-1).\sqrt{4x-1}))

Câu 1: Giải PT: $(3x+4)(x+1)(6x+7)^2=6$

Câu 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên ko âm thỏa mãn:
$(y+1)^4+y^4=(x+1)^2+x^2$

Câu 3: Giả sử $x_1$ và $x_2$. Biết rằng tỉ số $\dfrac{a}{b}$ là một số nguyên dương. CM $x_1=x_2$

Câu 4:Cho 2 đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại A, B. Biết $(C_1)$ có tâm $r_1=1$(cm);$O_2$ và bán kính $r_2=2$(cm); AB=1(cm) và hai điểm $(C_1)$ và $(C_2)$ ở M, N sao cho A nằm trong đoạn MN. Tiếp tuyến $(C_1)$ tại M cắt tiếp tuyến $(C_2)$ tại N ở E.
1. CM tứ giác $EMBN$ nội tiếp
2. Tính độ dài các cạnh tam giác $AO_1O_2$
3. CMR $A,B,E$ thẳng. CMR (d) là đường phân giác ngoài $x-y$ thuộc tập $E={3;6;9}$

Câu 1: Rút gọn với $a+b+c=0$
$A=(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b})(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}+\dfrac{a-b}{c})$

Câu 2: Tìm min $T=(x+y)(z+x)$với $x,y,z,t$là các số dương thỏa mãn: $(x+y+z)zyx=1$

Câu 3: Giải hệ
$xz=x+4$
$2y^2=7xz-3z-14$
$x^2+t^2=35-y^2$

Câu 4: Cho (O) đường kính AB. E thuộc OA, M thuộc EA. CD là dây cung vuông góc AB. DM giao (O) ở N. $(O_1)$bán kính r là đường tròn tiếp xúc (O) ở J và tiếp xúc các đường thẳng DN, CM ở K, I. Cho AM=a, ME=b, BE=c.
1. CM tam giác $O_1MK$đồng dạng tam giác MCE
2. Tính $\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$

Câu 5: Tìm số gồm 5 chữ sô $x,y,z,t,u$thỏa mãn: $\bar{xy}+\bar{ztu}=\sqrt{\bar{xyztu}}$