Đến nội dung


perfectstrong

Đăng ký: 30-09-2010
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:41
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $0< | a+b \sqrt{2} + c \sqrt{3}|...

Hôm qua, 16:06

Mỗi hướng giải đều có ý đẹp :D Nhưng hướng của nhungvienkimcuong sẽ dễ mở rộng lên thế này:

 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $q$ không chính phương và với mọi $\varepsilon$ dương, luôn tồn tại $a, b$ nguyên để

$$ 0 < |a + b\sqrt{q}| \le \varepsilon$$

Nếu mình hiểu đúng thì mệnh đề này sẽ suy ra là tập $\{a+b\sqrt{q}\}$ có tính trù mật nhỉ?


Trong chủ đề: $x_1+x_2+x_3+…+x_7=31$

01-07-2022 - 19:48

Làm theo cách của bạn :

Đặt $y_i=x_i+3$, ta có : $y_1+y_2+y_3+...+y_7=52$ ($0\leqslant y_i \leqslant 34$)
Lại đặt $z_i=\max\left \{ 34;52\right \} -y_i=52-y_i$, ta được :

$z_1+z_2+z_3+…+z_7=312$ ($18\leqslant z_i\leqslant 52$)

Đến đây rồi làm sao đây ???

Mình viết nhầm mất, phải là $z_i = \min \{ b_i - a_i, m - \sum a_i \}$ chứ nhỉ? Mà có vẻ cách này không ổn, hai cái biên chỉ là đổi chỗ cho nhau :wacko:

Thế thì thử hướng khác: quy về $y_i \in [0; b_i - a_i]$ như trên, xong ta sử dụng phương pháp loại trừ. Gọi $A_i$ là tập các nghiệm nguyên thỏa $\sum y_i = M (1)$ mà $y_i > b_i - a_i$ và $A$ là tập tất cả nghiệm nguyên của (1).

Số các nghiệm cần tìm sẽ là:

\[\left| A \right| - \sum\limits_{} {\left| {{A_i}} \right|}  + \sum\limits_{} {\left| {{A_i} \cap {A_j}} \right|}  - \sum\limits_{} {\left| {{A_i} \cap {A_j} \cap {A_k}} \right|}  + ...\]

Để tính $\left| {{A_{{i_1}}} \cap {A_{{i_2}}} \cap ... \cap {A_{{i_k}}}} \right|$ thì ta thay $z_{i_j} = y_{i_j} - (b_{i_j} - a_{i_j})$ rồi sử dụng bài toán gốc :D


Trong chủ đề: $x_1+x_2+x_3+…+x_7=31$

01-07-2022 - 15:23

Nếu tính luôn tổng quát thì:
 

Đếm số nghiệm nguyên của phương trình:

$$\sum\limits_{i=1}^n x_i = m$$

thỏa mãn $a_i \le x_i \le b_i \, \forall i \in \{ 1, \ldots, n \}$ với $a_i, b_i$ là các số nguyên cho trước ($a_i \le b_i$).

Hướng giải sẽ là đặt $y_i = x_i - a_i$ rồi $z_i = \max\{b_i - a_i, m - \sum a_i\}  -y_i$.


Trong chủ đề: $x_1+x_2+x_3+…+x_7=31$

30-06-2022 - 22:05

Chú ý là bài này và một bài khác là 2 bài “sinh đôi” nhưng không giống nhau hoàn toàn !

Tuy nhiên vẫn có thể áp dụng phép đặt $y_i = p - x_i$ để giải :D


Trong chủ đề: Số nghiệm nguyên của $z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}+z_{5}=31$

29-06-2022 - 13:25

Chỉ cần cho phép một chỉ số $i$ nào đó tự do thì pt luôn có vô số nghiệm, vì chỉ cần chọn bất kỳ $z_j \le j (j \ne i)$ rồi đăt $z_i = 31 - \sum\limits_{j\ne i} x_j$.