perfectstrong

Lời giải:
Dễ thấy $x,y \geq 0$.
-Nếu $x=0$, phương trình trở thành:
$4^y=2011^z-1 =2011^z-1^z \vdots 2011-1 \vdots 10 \Rightarrow 4^y \equiv 0 \pmod {10}$: vô nghiệm nguyên do $4^y$ chia 10 chỉ có thể dư 1;2;4;6;8.
-Nếu $x \geq 1 \Rightarrow 30^x \vdots 10 \Rightarrow 4^y \equiv 2011^z \equiv 1 \pmod {10} \Rightarrow y=0$
phương trình trở thành: $30^x+1=2011^z$. Do đó $z \geq 1$
\[{30^x} + 1 = {2011^z} \Leftrightarrow {30^x} = {2011^z} - 1 = {2011^z} - {1^z} \vdots 2011 - 1 \vdots 67\]
Mà $(67;30)=1$ nên dẫn tới điều vô lý.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm nguyên.

Góp vui 1 bài :
Cho một đa giác lồi có diện tích $ 24cm^{2}$.CMR : ta luôn vẽ được trong đa giác đó một tam giác có diện tích không nhỏ hơn $ 6cm^{2}$.

Gọi đa giác đã cho là $(H)$
Gọi $\vartriangle ABC$ là tam giác có diện tích lớn nhất trong các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của $(H)$
Các đường thẳng qua A,B,C song song với cạnh đối diện tương ứng cắt nhau tại D,E,F.
Dễ thấy mọi điểm của đa giác đều nằm trong $\vartriangle DEF$
$\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{4}S_{DEF} \geq \dfrac{1}{4}.S_{(H)}=6 (cm^2)$
$\vartriangle ABC$ là tam giác cần tìm.

Anh Hoàng xoắn quá, nguyenta98ka là lớp 9, = tuổi Pu mà.

@PSW: câu hỏi rất hay. Em rất muốn được trả lời, nhưng mình là NAM Chắc sau khi cuộc thi kết thúc thì anh PSW post những câu trả lời của thí sinh và cho phép mọi người đưa "tối" kiến của mình nhé
@Nguyenta98ka,... (nói chung là những chàng muốn vào mắt xanh của Pu )
Mấy chú chép thơ nhiều quá, Pu nó mà giỏi văn thơ thì mấy chú thế là tiêu rồi. .Anh tặng mấy chú một bài nho nhỏ (tức cảnh sinh bực mình)
Văn thơ ư? Có gì đâu
Ta thơ thẩn, bước đi trong chiều nắng
Lòng miên man, nặng hình bóng nàng ơi
Những bước chân đi qua con xóm nhỏ
Nàng hiện ra trong từng giọt nắng rơi.

Dẫu biết nàng không đang ở cạnh ta
Dẫu chỉ gặp nhau trong cơn mơ mộng
Dẫu lời này không tới chốn lầu khuê
Tình ta sẽ đưa ta tới bên nàng.
=============================
Đã nhiêu năm trôi qua theo mùa gió
Người nghệ sĩ đã hao mòn tấm thân
Lê bước chân trên con đường đất đỏ
Chàng tìm về nơi có hình bóng nàng.

Nhưng hỡi ôi khi chàng tới được đó
Nàng đã lên kiệu hoa cùng ai kia
Trời đất đã trở thành đống hỗn độn
Và mắt chàng nhòa đi vì niềm thương.

Khi chiều về, mây ngừng bay dù gió
Chàng chỉ biết ôm cây đàn năm xưa
Đưa mắt thẳm về nơi nàng hạnh phúc
Hát mãi câu: "Tôi trọn kiếp yêu nàng!"

Cảm ơn lời nhắc nhở của bạn. Bài này phải thêm đk $n$ nguyên dương mới đúng.
Bổ sung:
Rõ ràng $2a+b>1$
Ta chỉ cần chứng minh không xảy ra trường hợp $2a-b=1$.
Giả sử $2a-b=1$. Ta có:
\[\begin{array}{l}
2a - b = 1 \Leftrightarrow 2a = b + 1 \\
\Leftrightarrow 4{a^2} = {b^2} + 2b + 1 \\
\Leftrightarrow 8n + 4 = 3n + 1 + 2b + 1 \Leftrightarrow b = \frac{3}{2}n + 1 \in \Rightarrow n = 2x\left( {x \in } \right) \\
{b^2} = 6x + 1 = {\left( {3x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow x = 0 \Leftrightarrow n = 0:False \Rightarrow Q.E.D \\
\end{array}\]

Lời giải:
Nhận xét: 1 số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1; chia 5 dư 0; 1 hoặc -1.
Đặt $S=2^k+3^k$
Nếu $k=1;2$ thì rõ ràng S không chính phương.
Nếu $k \geq 3 \Rightarrow 4|2^k$.
Nếu $k$ lẻ thì $S \equiv 0+(-1)^k \equiv 3 \pmod 4 \Rightarrow$ S không chính phương.
Nếu $k$ chẵn. Đặt $k=2x \Rightarrow S=4^x+9^x$
Nếu $x$ lẻ thì $S \equiv (-1)^x+(-1)^x \equiv 3 \pmod 5 \Rightarrow$ S không chính phương.
Nếu $x$ chẵn thì $S \equiv (-1)^x+(-1)^x \equiv 2 \pmod 5 \Rightarrow$ S không chính phương.
Do đó, S không chính phương trong mọi TH.

C2:
Xét 4 TH $k=4x;k=4x+1;k=4x+2;k=4x+3$

Bài 2:
Đề phải thế này chứ nhỉ:
\[\left( {1 + x} \right)\left( {1 + \frac{y}{x}} \right){\left( {1 + \frac{9}{{\sqrt y }}} \right)^2} \ge 256\]
Lời giải:
Theo BĐT Bunyakovski-Cauchy-Schwart
\[\begin{array}{l}
\left( {1 + x} \right)\left( {1 + \frac{y}{x}} \right) \ge {\left( {1 + \sqrt y } \right)^2} \\
\left( {1 + \sqrt y } \right)\left( {1 + \frac{9}{{\sqrt y }}} \right) \ge {\left( {1 + 3} \right)^2} = 16 \\
\Rightarrow \left( {1 + x} \right)\left( {1 + \frac{y}{x}} \right){\left( {1 + \frac{9}{{\sqrt y }}} \right)^2} \ge {16^2} = 256 \\
\end{array}\]

Bài 178: Singapore 2000
C2:
Theo BĐT Holder, ta có:
\[\left( {\frac{{{a^3}}}{c} + \frac{{{b^3}}}{d}} \right)\left( {\frac{{{a^3}}}{c} + \frac{{{b^3}}}{d}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^3} \Rightarrow Q.E.D\]

Bài 182:
C2:
\[\begin{array}{l}
x = \sqrt a ;y = \sqrt b ;z = \sqrt c \\
\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \ge ab + bc + ca \\
\Leftrightarrow 2\sqrt a + 2\sqrt b + 2\sqrt c \ge a\left( {b + c} \right) + b\left( {a + c} \right) + c\left( {a + b} \right) \\
\Leftrightarrow \sum {\left( {2\sqrt a - a\left( {b + c} \right)} \right)} \ge 0 \Leftrightarrow \sum {\left( {2x - {x^2}\left( {3 - {x^2}} \right)} \right)} \ge 0 \\
\Leftrightarrow \sum {x\left( {2 - 3x + {x^3}} \right)} \ge 0 \Leftrightarrow \sum {x\left( {x + 2} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}} \ge 0:True \Rightarrow Q.E.D \\
\end{array}\]

b) Đề có vấn đề, hình như phải là $HD=HC \Leftrightarrow AB=AC$
c) \[\cos A = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow \vartriangle EAD \sim \vartriangle CAB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \cos A\]
d) Gợi ý:
C1: Vẽ tiếp tuyến Ax của (O) sao cho Ax cùng phía với D so với AO.
C2: CMR: $\angle OAD+\angle ADE=90^o$

Thật ra, rất khó để chia khối lớp và việc chia khối lớp cũng lãng phí.
BQT đã chia thành các cấp, như thế sẽ tiện hơn rất nhiều.
Có thể những bài toán bạn thắc mắc lại được giải đáp bằng các kiến thức cao hơn, nhưng đó là dịp để bạn có thể học hỏi thêm
Học thêm kiến thức mới không bao giờ là thừa.

Mấy chú cứ chém gió cho lắm đi.
Nên nhớ rằng, đối với con gái, chỉ có 2 loại đàn ông:
hoặc là NGƯỜI TRI KỈ
hoặc là KẺ THÙ KHÔNG ĐỘI TRỜI CHUNG.
Mấy chú cứ đi cưa cẩm con gái họ rồi bỏ, thể nào sau này nó cũng ĐỒ SÁT. Lúc đó đừng có tự hỏi tại sao mình không có con

MrTionline tên thật là Long, học cùng lớp với thằng Winwave .

Hello anh Hậu Long.
Còn hotboychungtinh là ai thế?
P/s: Mấy chú cứ đam mê bé Pu mà quên mất rằng đời đâu phải chỉ có 1 bông hoa đẹp Tội nghiệp thay.

] Của mình nè Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng ak

Hớ, chào chị. Chị học 11A2 hả? Nhìn chị quen quen, vì thấy trên sân khấu vài lần.

Topic này chỉ để "ngắm", không để "tám".
Mọi bài viết ý kiến trong này sẽ bị chuyển sang topic thảo luận.

SBD 12
Một thành viên của VMF (đã được sự đồng ý của khổ chủ)
HeatherErica