Đến nội dung

hxthanh

hxthanh

Đăng ký: 30-10-2010
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

Trong chủ đề: Trong trò chơi Minesweeper, một số trên ô vuông biểu thị số lượng mìn có...

Hôm nay, 03:25

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} &&x&&y& \\
\hline \;&\;&\;&\;&\;&\; \\
\hline \;&3&\;&1&\;&2 \\
\hline \;&\;&\;&\;&\;&\; \\
\hline\end{array}
Xét hai cột $x$ và $y$ như trong bảng trên. Ta nói $x=1$ nghĩa là cột $x$ có chứa đúng $1$ quả mìn.
$\bullet\quad$Nếu $x=1\Rightarrow y=0$ có ${3\choose 1}=3$ cách đặt $1$ quả mìn ở cột $x$
Khi đó ${5\choose 2}=10$ cách đặt $2$ quả mìn quanh ô số $3$ và ${2\choose 2}=1$ cách đặt $2$ quả mìn quanh ô số $2$
$\Rightarrow 3\times 10\times 1=30$ cách
$\bullet\quad$Nếu $y=1\Rightarrow x=0$ có ${3\choose 1}=3$ cách đặt $1$ quả mìn ở cột $y$
Khi đó có ${2\choose 1}=2$ cách đặt $1$ quả mìn quanh ô số $2$ và ${5\choose 3}=10$ cách đặt $3$ quả mìn quanh ô số $3$
$\Rightarrow 3\times 2\times 10=60$ cách
$\bullet\quad$Nếu $x=0$ và $\; y=0$
Có ${5\choose 3}\times {2\choose 1}\times {2\choose 2}=20$ cách
Vậy có tất cả $30+60+20=\boxed{\mathbf{110}}$ cách đặt mìn thoả yêu cầu.
_____

Đã chơi đến đây thì chơi cho trót. Nếu mở được ô trống thì các ô trống tiếp theo sẽ tự động mở cho đến khi xuất hiện các ô khác 0. Lựa chọn mở theo cách logic - nghĩa là chỉ mở các ô không chắc chắn khi không còn ô nào khẳng định không có mìn. Thử tính xem bước đầu tiên phải mở ô nào để khả năng thắng là cao nhất?

Trong chủ đề: $L(n)$ là số cách phân hoạch lẻ, $C(n)$ là số cách ph...

25-02-2024 - 08:37

Cho một số nguyên dương $n$ ta định nghĩa $L(n)$ và $C(n)$ như sau:
$L(n)$ là số cách phân hoạch $n$ thành tổng một số lẻ các số nguyên dương phân biệt.
$C(n)$ là số cách phân hoạch $n$ thành tổng một số chẵn các số nguyên dương phân biệt.
Ví dụ ta có thể viết $7$ thành $7$ ; $6+1$ ; $5+2$ ; $4+3$ ; $4+2+1$. Khi đó có $L(n) = 2$ và $C(n) = 3$.
Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương ta đều có:
$$\left | L(n) - C(n) \right | \leq 1$$

Lập hàm sinh cho số cách phân hoạch $n$ thành tổng các số nguyên dương phân biệt:
$G(x)=(1+x)(1+x^2)…(1+x^n)…$
Ở đây ta có $[x^n]G(x)=L(n)+C(n)$
Nhưng để chứng minh $L(n)$ và $C(n)$ hơn kém nhau không quá $1$ thì chưa biết phải làm thế nào :(
Theo như những gì dãy $C(n)=A067661$ cho thấy
thì hàm sinh cho $C(n)$ là
$E(x)=\dfrac 12\left(\prod_{k\ge 1}(1+x^k)+\prod_{k\ge 1}(1-x^k)\right)$
(Điều này làm mình thấy hoang mang không hiểu được! :( )
Như vậy $G(x)-E(x)=O(x)$ là hàm sinh cho $L(n)$
$O(x)=\dfrac 12\left(\prod_{k\ge 1}(1+x^k)-\prod_{k\ge 1}(1-x^k)\right)$
Bài toán được giải quyết hoàn toàn nếu ta chỉ ra được
$\left|[x^n]\right|: \prod_{k\ge 1}(1-x^k)\le 1 $
Trong tài liệu này từ cuối trang 6 đến trang 9 có nhắc đến kết luận trên.
Tham khảo “Số ngũ giác - Euler"

Trong chủ đề: Từ lưới ô vuông kích thước 29x29, chúng ta cắt ra 99 hình vuông 2x2. CMR...

23-02-2024 - 15:54

Ta đặt tâm ô vuông góc trái dưới cùng làm gốc toạ độ $(0,0)$
Tô màu các ô toạ độ $(3x+1,3y+1)$
Với $0\le x,y\le 9$. Tất cả có $10\times 10$ ô được tô màu.
Sau khi cắt ra $99$ hình vuông $2\times 2$ thì ít nhất còn một ô đã tô màu chưa bị cắt. Khi đó hình vuông $3\times 3$ có tâm là ô vuông nói trên sẽ cắt được một hình vuông $2\times 2$ nữa.

Trong chủ đề: $x_1 + x_2 + x_3 \le 15$ trong đó $x_1 > 2;\...

23-02-2024 - 11:17

...
2. Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = 40
thỏa điều kiện:
•2 ≤ x1 ≤ 8
•x2 ≥ 4
•x3 > 3
•x4 < 6

Lập tổng:

$\sum_{x_1=2}^8\sum_{x_4=0}^5\sum_{x_2=4}^{36-x_1-x_4}1=\sum_{a=2}^8\sum_{b=0}^5 (33-a-b)=\sum_{a=2}^8(183-6a)$

$=1281-216+6=1071$


Trong chủ đề: Hãy tính xem có tất cả bao nhiêu số ''đẹp'' dạng $...

22-02-2024 - 21:47

Một số $\overline{abcde}$ được gọi là số ''đẹp'' nếu $a< b >c< d >e$ (Chẳng hạn $15243$ là số ''đẹp''). Hãy tính xem có tất cả bao nhiêu số ''đẹp'' dạng $\overline{abcde}$?

Lập tổng một cách trật tự ta có:
\begin{align*}
S&=\sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1}\sum_{d=c+1}^9\sum_{e=0}^{d-1} 1 \\ &= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1}\sum_{d=c+1}^9 {d \choose 1} \\
&= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9\sum_{c=0}^{b-1} \left[{10\choose 2}-{c+1\choose 2}\right] \\ &= \sum_{a=1}^8\sum_{b=a+1}^9 \left[{10\choose 2}{b\choose 1}-{b+1\choose 3}\right] \\
&=\sum_{a=1}^8\left[{10\choose 2}^2-{10\choose 2}{a+1\choose 2}-{11\choose 4}+{a+2\choose 4}\right]\\
&= 8{10\choose 2}^2-{10\choose 2}{10\choose 3}-8{11\choose 4} +{11\choose 5}\\ &=8622
\end{align*}