Đến nội dung


hxthanh

Đăng ký: 30-10-2010
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#734517 Tìm $n$ nguyên sao cho $5n-1$ và $55n+11$ là số...

Gửi bởi hxthanh trong Hôm qua, 17:20

Bài này mình làm nhưng không ra, kiếm trên mạng xem như nào thì thấy bên cạnh $n=2$ thì $n=125771186$ cũng thỏa đề, ngoài ra còn những con số khủng khác nữa (xem ở đây)
Vì là câu này trong đề thi nên khả năng cao là đánh máy sai  :icon6:

Nhận xét của em rất “tinh tế” đấy! Không lẽ nào thầy cô ra đề sai cả :luoi:


#734513 Đề chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du (Đăk Lăk) vòng 1 năm học 2022-2023

Gửi bởi hxthanh trong Hôm qua, 14:00

$\sum_{x_1=1}^5\sum_{x_2=x_1+1}^6\sum_{x_3=1}^{x_2-1}\sum_{x_4=x_3+1}^61$
$=\sum_{x_1=1}^5\sum_{x_2=x_1+1}^6\sum_{x_3=1}^{x_2-1} \left[6-\binom{x_3}{1}\right]$
$=\sum_{x_1=1}^5\sum_{x_2=x_1+1}^6\left[6\binom{x_2-1}{1}-\binom{x_2}{2}\right]$
$=\sum_{x_1=1}^5\left[6\binom{6}{2}-6\binom{x_1}{2}-\binom{7}{3}+\binom{x_1+1}{3}\right]$
$=30\binom{6}{2}-6\binom{6}{3}-5\binom{7}{3}+\binom{7}{4}$
$=190$


#734501 Có thể chia 1 hình vuông bất kì thành n hình vuông

Gửi bởi hxthanh trong Hôm qua, 02:17

Bạn có thể giải thích rõ phần quy nạp đoạn n = k + 3, bằng cách chia 4 hình vuông được kh? Mình cảm ơn aaaa

- Giả sử có cách chia thành $n$ hình vuông. Trong cách chia đó, ta lấy một hình vuông bất kỳ chia ra làm $4$ như vậy số hình vuông sẽ tăng lên $3$ tức là ta có một cách chia thành $n+3$ hình vuông
- Lập luận như trên ta suy ra tồn tại cách chia thành $m=n+3k$ hình vuông nếu tồn tại cách chia thành $n$ hình vuông.
- $m$ là mọi số nguyên dương có cùng số dư với $n$ khi chia cho $3$
- $n=6,7,8$ là ba đại diện nhỏ nhất cho mỗi trường hợp tương ứng của $m$
- Nếu cả ba trường hợp đại diện này đúng thì đương nhiên kết luận là đúng với mọi $n\ge 6$
———
Phương pháp quy nạp trên có thể gọi là “quy nạp theo modulo”. Bạn thậm chí có thể tự sáng tạo ra một kiểu quy nạp riêng của bạn miễn là bạn chỉ ra bạn đã chứng minh giả thiết đúng trên cách bạn đếm tập số nguyên dương. (hay tập con nào đó từ kết luận đề bài)


#734500 Tính khoảng cách từ tâm quả táo đến chiếc đũa

Gửi bởi hxthanh trong Hôm qua, 01:44

Sau đây mình làm bài toán trong mặt phẳng (nhờ thầy Thế vẽ hộ cái hình, máy tính mình bị hỏng, cảm ơn nhiều!)
- Xét hình tròn bán kính $R$ tâm tại gốc toạ độ $O$
- “Chiếc đũa” là cặp đường thẳng song song vuông góc với trục hoành, cắt đường tròn tại 2 cặp điểm.
- Góc chắn bởi đoạn ngắn là $\varphi$
- Góc chắn bởi đoạn dài là $\Phi$
- Diện tích “xâm chiếm” của chiếc đũa vào hình tròn là $s$
- Độ rộng của chiếc đũa là $2r$
- Khoảng cách (cần tìm) từ trục chiếc đũa đến tâm $O$ là $h$

 

screenshot_1660914107.png

Ta có:
$r=\frac{R}{2}\left(\cos\frac{\varphi}{2}-\cos\frac{\Phi}{2}\right)$
$h=\frac{R}{2}\left(\cos\frac{\varphi}{2}+\cos\frac{\Phi}{2}\right)= R\cos\left(\frac{\Phi+\varphi}{4}\right) \cos\left(\frac{\Phi-\varphi}{4}\right) \approx R\cos\left(\frac{\Phi+\varphi}{4}\right) \;\;\;\;\;(\text{I})$
(Do góc $\frac{\Phi-\varphi}{4}$, tương đối nhỏ. Yên tâm việc xấp xỉ này không làm giảm giá trị của bài toán)
Diện tích hình viên phân lớn: $S_{vpl}=\frac{R^2}{2}(\Phi-\sin\Phi)$
Diện tích hình viên phân nhỏ: $S_{vpn}=\frac{R^2}{2}(\varphi-\sin\varphi)$
Nên: $s=\frac{R^2}{2}(\Phi-\varphi-(\sin\Phi-\sin\varphi))=R^2\left(\frac{\Phi-\varphi}{2}-\sin\frac{\Phi}{2}\cos\frac{\Phi}{2}+\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}\right)\approx R^2\left(\sin\left(\frac{\Phi-\varphi}{2}\right) -\sin\frac{\Phi}{2}\cos\frac{\Phi}{2}+\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}\right)$
$\Rightarrow s\approx R^2\left(\cos\frac{\varphi}{2}-\cos\frac{\Phi}{2}\right)\left(\sin\frac{\varphi}{2}+\sin\frac{\Phi}{2}\right)=2rR \left(\sin\frac{\Phi}{2}+\sin\frac{\varphi}{2}\right) \;\;\;(*)$
$=4Rr\sin\left(\frac{\Phi+\varphi}{4}\right) \cos\left(\frac{\Phi-\varphi}{4}\right) \approx 4Rr \sin\left(\frac{\Phi+\varphi}{4}\right) \;\;\;\;\;(\text{II})$
Dễ dàng nhận ra $(*)$ chính là diện tích hình thang chắn bởi 4 điểm, tuy vậy kết quả xấp xỉ cuối cùng còn tốt hơn!
- Về lý thuyết, có hai phương trình, hai ẩn hoàn toàn có thể tìm được $\Phi$ và $\varphi$ từ đó tính được $h$. Tuy vậy cách xấp xỉ của ta cho kết quả tối ưu hơn!
- Từ $(\text{I})$ và $(\text{II})$ ta có kết quả:
$$h\approx \sqrt{R^2-\frac{s^2}{16r^2}}$$
——————
Xem hình vẽ bài toán trên là hình chiếu của chiếc đũa và quả táo trong không gian lên mặt phẳng …
mời thầy Thế!




#734489 Chứng minh $a+11b+13c=m^2$ luôn có nghiệm

Gửi bởi hxthanh trong 18-08-2022 - 13:20

Bảng một số giá trị của $n$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n & a_{\times 1} & b_{\times 11} & c_{\times 13} & m^2 && n & a_{\times 1} & b_{\times 11} & c_{\times 13} & m^2 \\
\hline
3 & 1 & 1 & 1 & 5^2 && 11 & 1 & 5 & 5 & 11^2 \\
\hline
4 & 1 & 2 & 1 & 6^2 && 11 & 5 & 1 & 5 & 9^2 \\
\hline
5 & 1 & 2 & 2 & 7^2 && 12 & 4 & 4 & 4 & 10^2 \\
\hline
6 & 1 & 1 & 4& 8^2 && 12 & 7 & 4 & 1 & 8^2 \\
\hline
7 & 3 & 3 & 1 & 7^2 && 13 & 3 & 6 & 4 & 11^2 \\
\hline
8 & 3 & 2 & 3 & 8^2 && 13 & 7 & 2 & 4 & 9^2 \\
\hline
9 & 2 & 6 & 1 & 9^2 && 14 & 2 & 7 & 5 & 12^2 \\
\hline
10 & 2 & 3 & 5 & 10^2 && 14 & 3 & 1 & 10 & 12^2 \\
\hline
10 & 5 & 3 & 2 & 8^2 && 14 & 6 & 5 & 3 & 10^2 \\
\hline
-& - & -& - & - && 14 & 12 & 1 & 1 & 6^2 \\
\hline
\end{array}$$
Dường như không có quy luật nào cả, nhưng có thể thấy được $n$ càng lớn thì càng có nhiều cách viết.
Cơ mà cũng không hẳn! Trong khi $n=15$ có tới 6 cách viết thì $n=16$ chỉ có 3 cách viết
Hy vọng có thể gợi ý được một chút cho các bạn tìm hướng giải quyết ^_^


#734488 Tính khoảng cách từ tâm quả táo đến chiếc đũa

Gửi bởi hxthanh trong 18-08-2022 - 12:50

Gì mà ghê vậy Thế? Suy nghĩ theo hướng sơ cấp hơn xem nào! Giảm số chiều xuống còn $2$ Thể tích thành diện tích, hình trụ thành hình chữ nhật (khi xuyên sẽ là phần hiệu của hai hình viên phân.) Giải xong thử “nội suy” ra số chiều $3$ xem có được không?


#734477 Chứng minh $a+11b+13c=m^2$ luôn có nghiệm

Gửi bởi hxthanh trong 18-08-2022 - 03:30

Problem
Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương $n\ge 3$, ta luôn tách được $n$ thành tổng của ba số nguyên dương $a,b,c$ sao cho $a+11b+13c$ là một số chính phương.


#734421 Giải tích 12: Cực trị của hàm số

Gửi bởi hxthanh trong 16-08-2022 - 00:59

Thế thì đúng luôn với cả trường hợp tổng quát này luôn ạ.
Cho $f(x)$ là đa thức bậc k có k nghiệm.Trong đó có m nghiệm bội chẵn , n nghiệm bội lẻ thì $f(x)$ có số điểm cực trị là $2m+n-1$

Cái này khá hiển nhiên với đa thức:
Giữa hai nghiệm có một cực trị, giữa $m+n$ nghiệm có $m+n-1$ cực trị. Mỗi nghiệm bội chẵn là một cực trị vì tiếp xúc với trục hoành. Nên nhớ là chỉ áp dụng với đa thức.


#734414 Giải tích 12: Cực trị của hàm số

Gửi bởi hxthanh trong 15-08-2022 - 23:08

https://diendantoanh...a-2b-2x-a-nb-n/
Em có tìm được một bài viết , vậy liệu trường hợp này có đúng ko ạ.

Với đa thức, có thể chứng minh được khẳng định đó đúng!
———
Nhờ thầy Thế (E. Galois) )giải quyết cho bạn nhé!


#734413 VMF sẽ đi về đâu?

Gửi bởi hxthanh trong 15-08-2022 - 23:02

User cũ của anh có id 1788 chắc cũng không hơi trễ so với em nghĩ đâu :)
http://diendantoanho...r/1788-hxthanh/
(Link trong tuyển tập “Đẳng thức tổ hợp”)
Từ 2008 -2011 diễn đàn ta tuy sôi nổi hơn, đông hơn nhưng chất lượng topic không cao lắm. Bên mathscope thì ngược lại, thảo luận sôi nổi những vấn đề rất nổi cộm, IMO, toán cao cấp hay những seminar toán sơ cấp được hệ thống và mang tính sáng tạo rất cao. Trong khi đó chuyên đề bên mình thì … thôi khỏi so sánh!
Trên VMF mình còn tồn tại rất rất nhiều những topic không có bài phản hồi, chẳng vì thế mà đã khai sinh ra PSW.
… khen mathscope nhiều thế, nhưng tình yêu của mình lại dành cho VMF
Dù công việc, cuộc sống đôi lúc gặp nhiều trở ngại.
Hy vọng diễn đàn mình sẽ còn tiếp tục tiến xa hơn nữa.
Biết đâu một ngày nào đó, chủ nhân của Fields Prize bước ra từ VMF thì sao?


#734410 Giải tích 12: Cực trị của hàm số

Gửi bởi hxthanh trong 15-08-2022 - 22:07

Trích dẫn một bài, em thấy kĩ thuật này cũng rất thú vị , em cũng tìm thì cũng không có nhiều kênh làm về kĩ thuật này, nếu thật sự không có cơ sở thì cũng hơi tiếc ạ.
Untitled.png?width=320&height=320&fit=bo

Một lời giải rất phiến diện và rất thiếu căn cứ.
Cho dù là đồ thị của hàm đa thức có như hình vẽ thì cũng không ai dám khẳng định đó là hàm đa thức bậc 3. Đừng nói việc vẽ ra đồ thị của đáp án…
$f(x)=(x-1)(x^2-9).P(x)$
trong đó $P(x)$ là một đa thức bậc lẻ bất kỳ cũng thoả cái đồ thị như trên.
Ví dụ: $P(x)=(x+10)$
https://www.wolframa...x+10),{x,-5,4}]
433AC97B-7BC0-49C3-B21F-5FBA64D9DD6E.jpeg
7 cực trị đây!
Nhảm nhí thật!
Không biết thầy nào nghĩ ra cái này!


#734399 Bóng đá mùa giải 2022-2023

Gửi bởi hxthanh trong 15-08-2022 - 16:38

Từ ngày Mourinho bị trục xuất khỏi Old Trafford, MU không khác gì một đội bóng làng nhàng, xem MU đá như xem hài kịch. Chán!
Nhân nói về bóng đá, bài viết sau mình post trên mathscope từ … 2011. Cũng đã có câu trả lời, nay post lại ở đây, để mọi người cùng thảo luận:
——
Kết thúc một mùa giải bóng đá Ngoại hạng Anh (20 đội)
Đội A được 63 điểm
Một mùa giải khác: Đội B được 64 điểm
Một mùa giải khác nữa: Đội C được 38 điểm
-----------------------------
1. C có thể vô địch không?
2. A có thể rớt hạng không? (đứng thứ 18;19;20 trên bảng xếp hạng thì rớt hạng)
3. B có chắc chắn trụ hạng không?
Vì sao?


#734397 Giải tích 12: Cực trị của hàm số

Gửi bởi hxthanh trong 15-08-2022 - 16:11

Em đang muốn xét một hàm liên tục trên R giống như ví dụ 2 mà anh đưa ra , một hàm f(x) không phân ra các khoảng, không biết liệu có gì khác không ạ

Muốn biết liệu có nhiều hơn một cực trị hay không bạn phải tự chứng minh, đừng tin vào cảm giác. Không có kết luận nào chính xác mà không cần chứng minh cả?
Bạn nghĩ đơn giản mấy cái hàm đa thức, phân thức liên tục trên khoảng nghiệm giữa chúng không có nghiệm nào khác thì bạn kết luận giữa khoảng đó có đúng một cực trị!
Nhưng hàm số liên tục đâu nhất thiết phải có dạng đó?
Theo bạn thì hàm số liên tục có đồ thị như hình dưới có mấy cực trị trong khoảng $(-2,7)$
F0174B38-2C58-4E3E-A674-083354071A51.jpeg


#734393 Tìm bán kính, chiều cao của hình viên phân biết dây cung và cung

Gửi bởi hxthanh trong 15-08-2022 - 11:44

Ban đầu em cũng làm như anh Thanh là dùng chuỗi hàm đề xấp xỉ. Tuy nhiên sai số lớn quá so với yêu cầu của bạn em. Họ yêu cầu sai số không vượt quá 5mm đối với 100m. Do vậy em giải phương trình bằng phương pháp Newton
 
Đặt $x=\frac{l}{2R} \in \left ( 0; \frac{\pi}{2} \right)$ ta thu được phương trình
$$f(x)=\sin x - \frac{w}{l}x  = 0$$
Ta giải phương trình này bằng phương pháp Newton. Ta có:
$$f'(x)=\cos x - \frac{w}{l}; \quad f''(x)=-\sin x$$
Ta lập dãy
$$\begin{cases}x_0 = \dfrac{\pi}{2} \\ x_{n} = x_{n-1}-\dfrac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}=x_{n-1}-\dfrac{\sin(x_{n-1})-\dfrac{w}{l}x_{n-1}}{\cos(x_{n-1})-\dfrac{w}{l}}, \quad \forall n \geq 1\end{cases}$$
 
Sau đó chỉ cần dùng 1 file Excel là có thể cho ra kết quả với sai số tùy ý, thường thì các số liệu thực tế sẽ cho kết quả ở bước 6.
 
p/s: Hình như Diễn đàn không cho up file Excel

Phương pháp hay! Em có thể in bằng “máy in” pfd ra file pdf mà
Nhắc tới bài toán này mình lại phải “đào” cái này lên
https://diendantoanh...ũa/#entry670953


#734376 Tìm bán kính, chiều cao của hình viên phân biết dây cung và cung

Gửi bởi hxthanh trong 14-08-2022 - 16:06

Ta có:
$w=2R\sin\theta\;\;(1)$
$l=2R\theta\;\;(2)$
$h=R(1-\cos\theta)$
Theo lý thuyết thì hai phương trình đầu tiên tìm được $\theta$ và $R$
Chia vế theo vế (1) cho (2) thì
$\frac{\sin\theta}{\theta}=\frac{w}{l}$
Có định nghĩa cho hàm $f(x)=\frac{\sin x}{x}=\text{sinc } x$
Nhưng không thấy định nghĩa cho hàm ngược $\text{sinc}^{-1}x$
https://www.wolframa...unction sinc(x)
Giả sử tồn tại hàm ngược như vậy, khi đó:
$\theta=\text{sinc}^{-1}\left(\frac{w}{l}\right)$
Và bài toán được giải quyết!
——
Có thể người ta xấp xỉ hàm ngược này bằng chuỗi
$\text{sinc }x=\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+…$
Chỉ lấy $2$ số hạng đầu ta được xấp xỉ:
$\text{sinc }x=\frac{\sin x}{x} \approx 1-\frac{x^2}{3!}$
Nên $\text{sinc}^{-1}x \approx \sqrt{6(1-x)}$
——
Theo mình bài toán sẽ được giải quyết như vậy!