Vì vậy $\sum_{c=0}^{b-1}\Rightarrow 0\le b-1\Rightarrow b\ge 1$
Do đó ở phép lấy tổng tiếp theo $b$ phải được xuất phát từ $1$ Tương tự vậy $a\ge 2$
———
Tổng được viết để xác định lại là
$\sum_{a=2}^{n-1}\sum_{b=1}^{a-1}\sum_{c=0}^{b-1}(a+b+c)=\sum_{0\le c<b<a\le n-1}(a+b+c)$
Tính tổng này không khó, có thể tính theo một vài cách…
——
Cách 1: Tính trực tiếp:
\begin{align*} S=&\sum_{a=2}^{n-1} \sum_{b=1}^{a-1} \sum_{c=0}^{b-1}(a+b+c)\\ =&\sum_{a=2}^{n-1} \sum_{b=1}^{a-1}\left[(a+b)b+\dfrac{b(b-1)}{2}\right] \\ =&\sum_{a=2}^{n-1} \sum_{b=1}^{a-1}\left[\dfrac{2a-1}{2}\cdot b +\dfrac{3}{2}\cdot b^2\right] \\ =& \sum_{a=2}^{n-1} \left[\dfrac{2a-1}{2}\cdot\dfrac{a(a-1)}{2}+\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{a(a-1)(2a-1)}{6}\right]\\ =&\sum_{a=2}^{n-1}\left[6 {a\choose 3}+ 3{a\choose 2}\right]\\ =& 6{n\choose 4}+3{n\choose 3}\\ =& \dfrac{n(n-1)^2(n-2)}{4}\end{align*}
——
Ta thấy rằng $S=\sum_{a=2}^{n-1} \sum_{k=1}^{a-1}3k^2$
Thử xem có thể suy diễn ra điều đó mà không phải tính không?
——
Từ kết quả ta có: $S={n\choose 2}{n-1\choose 2}$
Thử xem có cách đếm nào ra kết quả đấy không?
Tất cả xin nhường các bạn!
- perfectstrong, nhungvienkimcuong và Nobodyv3 thích