hxthanh

Một ví dụ rất hay của “Barcelona” number

Cái này $\boxed{\sqrt{2^n}\cos\frac{n\pi}4}$, ta có thể biểu diễn thành…
$2^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor} (-1)^ {\left\lfloor\frac {n+1}4\right\rfloor} \left(\! \left\lfloor\frac {n+5}4\right\rfloor\!-\! \left\lfloor\frac {n+2}4\right\rfloor\!\right) $
nhìn mới nguy hiểm

Cộng lại, Ta có $3a+3b=7$
Mà $c=2a+b-4=3-a-2b$
Nên $P=30a+\frac {28}3-4a+2018\left(2a+\frac 73-a-4\right)$
$P=2044a-3354\ge -3354$
Mặt khác thay $a=\frac 73-b$ thì
$P=-2044b+\frac{4246}3\le \frac{4246}3$

Mấy cách này thực chất vẫn tương đương nhau
Ví dụ:
Gọi $D_n$ và $X_n$ lần lượt là số miền và số giao điểm khi dựng đường thẳng thứ $n$ trên mặt phẳng (thoả điều kiện)
Giả sử dựng được đường thẳng thứ $n-1$. Dựng đến đường thẳng thứ $n$ thì số giao điểm tăng thêm $n-1$ số miền tăng thêm $n$. Nghĩa là:
$\begin{cases}X_n=X_{n-1}+n-1\\ D_n=D_{n-1}+n\end{cases}$
\begin{align*}\Rightarrow D_n-X_n&=D_{n-1}-X_{n-1}+1\\
\Rightarrow D_{n-1}-X_{n-1}&=D_{n-2}-X_{n-2}+1\\
…&=…\\
\Rightarrow D_1-X_1&=D_0-X_0+1\end{align*}
Cộng vế theo vế, ta được
$D_n-X_n=D_0-X_0+n\Rightarrow D_n=X_n+n+1$
Mặt khác số giao điểm của $n$ đường thẳng (thoả điều kiện) là $\; X_n={n\choose 2}$
Do đó ta có $\quad D_n={n\choose 2}+n+1$

Wow, thật bất ngờ khi bạn @chanhquocnghiem trả lời câu hỏi này bằng cách… tính cụ thể chi tiết ra như vậy! Nhưng đây chắc chắn không phải phương thức mà mình tìm ra điều thú vị trên.
Quay lại một chút với số biến bằng $3$.
Ta có điều tương tự:
$f(n,3)=\frac{|A|+3|A_2|+2|A_3|}6$
thì $f(n-3,3)=\frac{|A|-3|A_2|+2|A_3|}6$
Hay đi xa hơn với số biến bằng $5$ (xin xem trong bài này)
Ta cũng có:
\begin{align*}f(n-1&0,5)= \\ &=\frac{|A|-10|A_2|+15|A_{22}|-20|A_{23}|+20|A_3|-30|A_4|+24|A_5|}{5!}\end{align*}
Nếu thay các dấu “$-$” bằng dấu “$+$” thì là $f(n,5)$
Phải có nguyên do gì đó…

Vậy là với sự trợ giúp từ @chanhquocnghiem bài toán đã giải quyết xong!
Tản mạn thêm một chút về đồ thị $(C)$ của hàm số này
$f(x)=\frac{\lfloor x\rfloor^3}3+\frac{\lfloor x\rfloor^2}2+\frac{\lfloor x\rfloor}6+x\lfloor x\rfloor(x-\lfloor x\rfloor-1)$
- Với mỗi $x$ trên từng… $[m,m+1)$ với $0\ne m\in\mathbb Z$ (không biết nên gọi là khoảng, đoạn, nửa khoảng,… hay thế nào cho đúng)
thì $(C)$ là đường cong bậc $2$. Riêng với $x\in [0,1)$ thì $(C)$ suy biến thành đường thẳng.
- Xét trên toàn bộ trục số. Nếu ta coi $\lfloor x\rfloor \sim x$ thì sẽ có $f(x)\sim \frac{x(x-1)(2x-1)}6=g(x)$
Mời các bạn xem sự khác biệt giữa hai đồ thị của $f(x)$ và $g(x)$
Chúng “gần như” khớp hoàn toàn với nhau (thực tế không phải vậy). Ta thử tính tích phân
$J=\int_1^n g(x)\mathrm dx=\left. \frac{x^2(x-1)^2}{12} \right |_1^n=\frac{n^2(n-1)^2}{12}=I$
Quả nhiên sự trùng hợp này cũng thú vị làm sao!
——
Về “xuất xứ” của hàm số này, có thể nói là nó đến từ việc xây dựng các “nguyên hàm cấp cao” cao của hàm $\lfloor x\rfloor$
Hãy để ý đến “một nửa” đạo hàm của $f(x)$
$\frac{f’(x)}2=x\lfloor x\rfloor-\frac{\lfloor x \rfloor(\lfloor x\rfloor+1)}2$
Nó “thực sự” là nguyên hàm của $\lfloor x\rfloor$ đấy!
Từ “thực sự” ở đây mang ý nghĩa rằng, bạn có thể dùng nó để tính tích phân $\int_a^b \lfloor x\rfloor \mathrm dx$ mà không mắc phải bất kỳ sai sót nào!
Nguyên hàm “cấp $n$” của $\lfloor x\rfloor$ là hàm số
$\mathbb F_n(x)=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}(x-k)^n$
Nếu tinh ý bạn có thể nhận ra rằng hàm số $f(x)$ của ta là
$f(x)=2\mathbb F_2(x)=\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}(x-k)^2$
(Các bạn kiểm tra lại xem đúng không nhé!)
Với “cấu hình” như trên thì việc tính $I$ trở nên quá đơn giản!
——
Nhận xét khá là lan man rồi, hy vọng bài toán này có thể đem đến một chút cảm hứng nào đó với các bạn. $\quad\blacksquare$

Cho hàm số: $f(x)=\frac{\lfloor x\rfloor^3}3+\frac{\lfloor x\rfloor^2}2+\frac{\lfloor x\rfloor}6+x\lfloor x\rfloor(x-\lfloor x\rfloor-1)$
1 - Chứng minh $f(x)$ liên tục và khả vi với mọi $\forall x\in\mathbb R$ (Khảo sát vẽ đồ thị hàm số)
2 - Tính tích phân $I=\int_1^n\!\! f(x)\mathrm dx$

Để có cái nhìn rõ hơn về hàm số này, mình xin làm trước câu 1
Xét hàm $f(x)=\frac{\lfloor x\rfloor^3}3+\frac{\lfloor x\rfloor^2}2+\frac{\lfloor x\rfloor}6+x\lfloor x\rfloor(x-\lfloor x\rfloor-1)$
$\bullet\;$Tập xác định $x\in \mathbb R$
$\bullet\;$Xét tính liên tục: Với mỗi $x\in(m,m+1);\;m\in\mathbb Z$ thì $\lfloor x\rfloor=m=\mathrm{const}$ khi đó $f(x)$ là đa thức bậc $2$ của $x$ nên hiển nhiên nó liên tục.
- Xét tại các điểm hoành độ nguyên $x=m;\;m\in\mathbb Z$
- Giới hạn trái
Do $\lim_{x\to m^-} \lfloor x\rfloor=m-1$, nên thay vào ta có:
$\lim_{x\to m^-} f(x)=\frac{m(m-1)(2m-1)}6$
- Giới hạn phải
Do $\lim_{x\to m^+} \lfloor x\rfloor=m$, nên thay vào ta có:
$\lim_{x\to m^+} f(x)=\frac{m(m-1)(2m-1)}6$
Suy ra $\lim_{x\to m^-} f(x)=\lim_{x\to m^+} f(x)=f(m)$
Vậy $f(x)$ cũng liên tục tại các điểm hoành độ nguyên.
Do đó nó liên tục $\forall x\in\mathbb R$
$\bullet\;$ Đạo hàm
Xem $\lfloor x\rfloor =\mathrm{const}$ ta dễ dàng tính được
$f’(x)=\lfloor x\rfloor\left(2x-\lfloor x\rfloor-1\right)$
trên các khoảng $(m,m+1);\;m\in\mathbb Z$
Tương tự như trên, ta cũng có:
$\lim_{x\to m^-}f’(x)=\lim_{x\to m^+}f’(x)=m^2-m=f’(m)$
Như vậy $f(x)$ khả vi liên tục $\forall x\in\mathbb R$
$f’(x)=0\Leftrightarrow 0\le x\le 1$
$\bullet\;$Bảng biến thiên
\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty & \; & \; & 0 & \; & \;& 1 & \; & +\infty\\
\hline
f^\prime(x) & \; & + & \; & 0 & 0 & 0 & 0 & + &\; \\
\hline
\; & \; & \; & & & \; & \; & &\; &+\infty \\
f(x) & \; & \nearrow & &0 & 0 & 0 & 0 & \nearrow & \; \\
\quad & -\infty & \; & \; & & & \; & \: & \; &
\end{array}
(Một ví dụ điển hình cho việc có vô hạn điểm “tới hạn” mà không có cực trị nào!)
$\bullet\;$ Đồ thị - mượn luôn từ Wolframalpha

Kết thúc câu 1. Mời các bạn tiếp tục câu 2!

Cho em hỏi $\lfloor x\rfloor$ là hàm số nguyên lớn nhất đúng không ạ ?

$\lfloor x\rfloor$ Là phần nguyên của $x$ - là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$
Ký hiệu Floor Function “$\lfloor\;\rfloor$”khá rõ ràng rồi mà em!

Cho hàm số: $f(x)=\frac{\lfloor x\rfloor^3}3+\frac{\lfloor x\rfloor^2}2+\frac{\lfloor x\rfloor}6+x\lfloor x\rfloor(x-\lfloor x\rfloor-1)$
1 - Chứng minh $f(x)$ liên tục và khả vi với mọi $\forall x\in\mathbb R$ (Khảo sát vẽ đồ thị hàm số)
2 - Tính tích phân $I=\int_1^n\!\! f(x)\mathrm dx$

Lập luận như bạn @dshung1997 thì khi chơi “xóc đĩa” cứ chẵn mà đánh kiểu gì cũng thắng
——
Xóc đĩa là một trò cờ bạc “dân gian” có thể hiểu như sau: Gieo 4 đồng xu, mỗi đồng có 2 mặt đen và trắng. Nếu tổng số mặt giống nhau là số chẵn thì kết quả là “chẵn” ngược lại thì là “lẻ”.
“Không gian mẫu” theo lập luận của bạn chỉ có
$(\circ,\circ,\circ,\circ);\;(\circ,\circ,\circ,\bullet);\;(\circ,\circ,\bullet,\bullet);\;(\circ,\bullet,\bullet,\bullet);\;(\bullet,\bullet,\bullet,\bullet) $
Như vậy có $3$ trường hợp “chẵn” và $2$ trường hợp “lẻ”. Đơn giản là cứ “chẵn” mà đánh, có thế thôi mà từ xưa đến nay không ai “phát hiện” ra!

Phát hiện mới về $f(n,4)$
Lại nói về số nghiệm nguyên dương $f(n,4)$ của $\begin{cases}a+b+c+d=n\\1\le a\le b\le c\le d\end{cases}$
Với các giá trị sau:
$|A|={n-1\choose 3};\quad |A_2|=\left\lfloor\frac{(n-2)^2}4\right\rfloor$
$|A_{22}|=\frac{((-1)^n+1)(n-2)}4;\quad |A_3|=\left\lfloor\frac{n-1}3\right\rfloor$
$|A_4|=\left\lfloor\frac n4\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}4\right\rfloor$
Thế thì:
$f(n,4)=\frac{|A|+6|A_2|+3|A_{22}|+8|A_3|+6|A_4|}{24}$
Và
$f(n-6,4)=\frac{|A|-6|A_2|+3|A_{22}|+8|A_3|-6|A_4|}{24}$
Từ đó ta có:
$f(n,4)-f(n-6,4)=\frac{|A_2|+|A_4|}2=\left\lfloor\frac{(n-2)^2+4}8\right\rfloor$

Các bạn thử suy nghĩ xem, tại vì sao lại thế?

Lời giải của @truongphat266 đúng rồi chỉ bỏ quên mất cặp $(1,0)$ thôi
Bài này còn có một ý khác đó là:
Chứng minh rằng $\left(\frac{\pm L(6m)}2,\frac{\pm F(6m)}2\right)$ với $m\ge 0$
là tất cả các nghiệm của phương trình $x^2-5y^2=1$
Trong đó $L(n)$ là dãy số Lucas còn $F(n)$ là dãy số Fibonacci

Tìm tất cả nghiệm nguyên không âm $(x,y)$ của phương trình
$x^2-5y^2=1$ thoả mãn $y\le 1292$

$a+b+c=2016$
$1\le a<b<c\Rightarrow 1\le a\le b’=b-1\le c’= c-2$
$\Rightarrow a+b’+c’=2013$
Số nghiệm này là
$f(2013,3)=\left\lfloor\frac{2013^2+3}{12}\right\rfloor=337681$
——
Về bù trừ thì nên để đúng công thức là
$$\frac{1}{3!}\left({2015\choose 2}-3.1007+2.1\right)$$

Kết quả chỉ được ra 1 giá trị thôi

@ThienDuc1101 giải đúng rồi mà bạn?

Cho: $a,b,c$ là các số thực phân biệt sao cho:
$a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{c}=c+\frac{2}{a}$
Tính $abc$

Ví dụ: $a=-\sqrt 2,\;b=\frac{\sqrt 2}2,\;c=2\sqrt 2\Rightarrow abc=-2\sqrt 2$
$a=\sqrt 2,\;b=-\frac{\sqrt 2}2,\;c=-2\sqrt 2\Rightarrow abc=2\sqrt 2$
Ai nói bạn $abc$ có một giá trị?