Đến nội dung

hxthanh

hxthanh

Đăng ký: 30-10-2010
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#746663 Tính : $\sum_{a=0}^{n-1}\sum_{b=0...

Gửi bởi hxthanh trong Hôm qua, 02:09

Có xung đột về mặt ký hiệu trong bài toán này. Theo định nghĩa về summation thì “cận trên” không được bé hơn “cận dưới” (khác với tích phân)
Vì vậy $\sum_{c=0}^{b-1}\Rightarrow 0\le b-1\Rightarrow b\ge 1$
Do đó ở phép lấy tổng tiếp theo $b$ phải được xuất phát từ $1$ Tương tự vậy $a\ge 2$
———
Tổng được viết để xác định lại là
$\sum_{a=2}^{n-1}\sum_{b=1}^{a-1}\sum_{c=0}^{b-1}(a+b+c)=\sum_{0\le c<b<a\le n-1}(a+b+c)$
Tính tổng này không khó, có thể tính theo một vài cách…
——
Cách 1: Tính trực tiếp:
\begin{align*} S=&\sum_{a=2}^{n-1} \sum_{b=1}^{a-1} \sum_{c=0}^{b-1}(a+b+c)\\ =&\sum_{a=2}^{n-1} \sum_{b=1}^{a-1}\left[(a+b)b+\dfrac{b(b-1)}{2}\right] \\ =&\sum_{a=2}^{n-1} \sum_{b=1}^{a-1}\left[\dfrac{2a-1}{2}\cdot b +\dfrac{3}{2}\cdot b^2\right] \\ =& \sum_{a=2}^{n-1} \left[\dfrac{2a-1}{2}\cdot\dfrac{a(a-1)}{2}+\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{a(a-1)(2a-1)}{6}\right]\\ =&\sum_{a=2}^{n-1}\left[6 {a\choose 3}+ 3{a\choose 2}\right]\\ =& 6{n\choose 4}+3{n\choose 3}\\ =& \dfrac{n(n-1)^2(n-2)}{4}\end{align*}
——
Ta thấy rằng $S=\sum_{a=2}^{n-1} \sum_{k=1}^{a-1}3k^2$
Thử xem có thể suy diễn ra điều đó mà không phải tính không?
——
Từ kết quả ta có: $S={n\choose 2}{n-1\choose 2}$
Thử xem có cách đếm nào ra kết quả đấy không?
Tất cả xin nhường các bạn!


#746651 Tính $S_n=\sum_{a+2b+3c=n}abc$

Gửi bởi hxthanh trong 07-11-2024 - 08:02

Tuyệt vời quá nmlinh16 ơi! Kiến thức đã được tiếp thu, rất cảm ơn lời giải chi tiết của bạn!


#746642 Tính $S_n=\sum_{a+2b+3c=n}abc$

Gửi bởi hxthanh trong 06-11-2024 - 19:45

$\mathcal A$ là tập hợp các bộ $(a,b,c)$ là các số nguyên dương thoả mãn $a+2b+3c=n$. Tính
$S_n=\sum_{(a,b,c)\in \mathcal A}abc$


#746633 Tính $S=\sum_{a<b<c<d}abcd$

Gửi bởi hxthanh trong 04-11-2024 - 21:13

Sao lại phức tạp vậy nhỉ?
\begin {align*}
\sum_{a=1}^{b}a&=\binom {b+1}2\\
\sum_{b=1}^{c}b\binom {b+1}2&= \sum_{b=1}^{c}\left [3\binom {b+1}3+
\binom {b+1}2\right] \\&=3\binom {c+2}4+\binom {c+2}3\\
\sum_{c=1}^{n}c\left [3\binom {c+2}4+
\binom {c+2}3\right] &=\sum_{c=1}^{n}\left [15\binom {c+2}5+
10\binom {c+2}4+\binom {c+2}3\right] \\
&=15\binom {n+3}6+10\binom {n+3}5+\binom {n+3}4\\
\Rightarrow \sum_{c=1}^n\sum_{b=1}^c\sum_{a=1}^b abc&=
\boldsymbol {\dfrac{n^2(n+1)^2(n+2)(n+3)}{48}}
\end{align*}


#746630 Tính $S=\sum_{a<b<c<d}abcd$

Gửi bởi hxthanh trong 03-11-2024 - 21:29

Lời giải này đẹp và tự nhiên :D Có thể giải thích phần nào ý nghĩa trực quan của $F_m(n)$:
\[{F_m}\left( n \right) = \sum\limits_{k = m + 1}^{2m} {{C_{m,k}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ k \end{array}} \right)} \]
Giờ chỉ còn cái tính các hệ số :icon10:

Xếp theo kiểu “tam giác Pascal” sẽ có:
\begin{array}{cccccc}
1&&&&&\\
2& 3&&&&\\
6& 20& 15&&&\\
24& 130& 210& 105&&\\
120& 924& 2380 &2520&945&\\
…&…&…&…&…&…&\\
\end{array}
Cột 1 là 1!, 2!, 3!…
Cạnh “huyền” là 1, 1.3, 1.3.5, 1.3.5.7,…
Tổng đan dấu bằng $\pm 1$
20=6+15-1; 24+210=130+105-1; v.v…
Còn dấu hiệu gì nữa nhỉ?
$(2+3).4=20$
$(6+20).5=130$
$(20+15).6=210$

Viết lại Hàm $F_m(n)$ của perfectstrong dạng
$$F_m(n)=\sum_{k=1}^m C_{m,k}\binom{n+1}{m+k}$$
Khi đó ta có công thức truy hồi của “Tam giác” trên là:
\begin{equation}C_{m+1,k+1}=(m+k+1)(C_{m,k}+C_{m,k+1})\end{equation}
———
Đến đây xây dựng bài toán kiểu:
Bài toán
Với các số tự nhiên $m,k$, người ta định nghĩa hàm số nguyên $C_{m,k}$ như sau:
$C_{m,0}=0, \forall m\in\mathbb N^*$
$C_{m,k}=0, \forall k> m$
$C_{0,0}=1$
$C_{m+1,k+1}=(m+k+1)(C_{m,k}+C_{m,k+1}),\forall m,k\in \mathbb N$
Hãy tính giá trị của tổng:
$S_n=\sum_{k=1}^n (-1)^kC_{n,k}$

:luoi:


#746628 Tính $S=\sum_{a<b<c<d}abcd$

Gửi bởi hxthanh trong 03-11-2024 - 19:36

Cảm ơn thầy. Ý tưởng này có được cũng là từ bài giải của thầy.


Đấy! Quan trọng ở chỗ học 1 biết 10 của bạn. Với ý tưởng giới hạn khoảng biến thiên của mỗi biến chạy, tôi thực hiện phép lấy tổng từ biến $d \to a$ dẫn tới “cận dưới” nó bị xấu dần đều, ngược lại bạn thực hiện lấy tổng từ $a\to d$ khéo léo dùng tính chất “teleport” của binomial dẫn đến bài toán sáng sủa và ít phép tính đi rất nhiều. Hãy áp dụng cách này cho bài toán cũ của bạn, xem nó hữu dụng như thế nào!


#746619 Tính $S=\sum_{a<b<c<d}abcd$

Gửi bởi hxthanh trong 02-11-2024 - 20:22

Thú vị quá! Em xin đóng góp 1 lời giải nữa :
$S=\sum_{1\leq a<b<c<d\leq n}abcd=\sum_{d=4}^{n}\sum_{c=3}^{d-1}\sum_{b=2}^{c-1}\sum_{a=1}^{b-1}abcd$
Ta có :…

Cách này tuyệt vời nhất!


#746588 Tính $S=\sum_{a<b<c<d}abcd$

Gửi bởi hxthanh trong 31-10-2024 - 01:10

Thử tính:
$S=\sum_{a=1}^{n-3}\sum_{b=a+1}^{n-2}\sum_{c=b+1}^{n-1}\sum_{d=c+1}^n abcd$
từ trong ra ngoài xem có đúng không?
$S=\sum_{a=1}^{n-3}\sum_{b=a+1}^{n-2}\sum_{c=b+1}^{n-1} \dfrac{abc(n+c+1)(n-c)}{2}$

thêm 3 lần nữa, mỗi lần tăng thêm 2 bậc kể ra cũng ngại!
Theo WFA thì.. kết quả là
$\dfrac{n(n-2)(n-3)(15n^5+15n^4-25n^3-23n^2+10n+8)}{5760}$


#746425 Tính hệ số của $x^{105}$ trong  $$P(x)=\p...

Gửi bởi hxthanh trong 16-10-2024 - 10:31

Đây là cách thí sinh mang WFA vào phòng thi :luoi:


#746423 Tính tổng 1000 số nguyên dương đầu tiên

Gửi bởi hxthanh trong 16-10-2024 - 02:10

Tính tổng 1000 số nguyên dương đầu tiên mà không có chữ số 9.

Theo một tối kiến của bản thân thì ta có tổng sau:
$S=\sum_{k=1}^{1000} (\text{convert $k$ to base $9$}) $
Giả sử $k$ viết trong hệ cơ số $9$ là $k=\overline{a_3a_2a_1a_0}_{(9)}$ thì ta có:
\begin{align*} a_0&=k-9\left\lfloor \frac{k}9\right\rfloor \\ a_1&= \left\lfloor \frac{k}9\right\rfloor - 9 \left\lfloor \frac{k}{9^2}\right\rfloor \\ a_2&= \left\lfloor \frac{k}{9^2}\right\rfloor -9\left\lfloor \frac{k}{9^3}\right\rfloor \\ a_3&= \left\lfloor \frac{k}{9^3}\right\rfloor \end{align*}
Sau khi “convert” ta viết các chữ số đó và xem là hệ cơ số 10 thì ta có tổng:
$S=\sum_{k=1}^{1000} \left(k+ \left\lfloor \frac{k}9\right\rfloor+ 10\left\lfloor \frac{k}{9^2}\right\rfloor+ 100\left\lfloor \frac{k}{9^3}\right\rfloor \right)=\;$ 639807


#746289 Chọn ngẫu nhiên 3 số nguyên $a,b,c$ thuộc tập $X=\left...

Gửi bởi hxthanh trong 03-10-2024 - 17:14

Đề bài đúng là cần thêm điều kiện $1\le a<b<c\le 2025$
Sau đó hỏi xác suất $a+b>c$ thì sẽ ok hơn.
Như bạn @chanhquocnghiem đã chỉ ra sai sót này!


#746283 Tô màu các đỉnh của $A_1A_2...A_10$ bằng 2 màu xanh hoặc đỏ. Có mấ...

Gửi bởi hxthanh trong 02-10-2024 - 15:50

Tô màu tất cả các đỉnh của đa giác lồi $A_1A_2...A_{10}$ (10 đỉnh) bằng hai màu xanh hoặc đỏ (mỗi đỉnh tô một màu). Hỏi có bao nhiêu cách tô màu sao cho không có hai đỉnh kề nhau nào của mỗi đa giác có cùng màu đỏ? (HSG Toán 12 Quảng Trị 2024-2025)
Liệu có thể tìm công thức tổng quát cho đa giác lồi $n$ đỉnh hay không?

Bài này hoàn toàn giải được bằng phương pháp truy hồi.
Xây dựng $n-$ giác lồi thoả mãn điều kiện bằng cách:
- Thêm 1 đỉnh xanh vào bất cứ cạnh nào của $n-1$ giác lồi thoả mãn, hoặc:
- Chọn 1 đỉnh xanh của $n-2$ giác lồi thoả mãn rồi “kéo dãn” ra thành hai đỉnh xanh kề nhau thành $n-1$ giác, đỉnh đỏ sẽ được thêm vào giữa hai đỉnh xanh đó.
Như vậy:
$S_n=S_{n-1}+S_{n-2}$
Với $S_2=3, S_3=4$, ta tìm được
$S_n=L_n=\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n + \left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n$


#746233 5 bi xanh, 7 bi đỏ và… số lẻ!

Gửi bởi hxthanh trong 26-09-2024 - 10:33

Coi qua lời giải phía trên thì còn thiếu các trường hợp số lượng 9 bi, 11 bi nữa. Hy vọng một lời giải gọn gàng hơn.

Tranh thủ chút thôi, chứ không có nhiều time lắm


#746222 5 bi xanh, 7 bi đỏ và… số lẻ!

Gửi bởi hxthanh trong 25-09-2024 - 02:25

Một bình kín đựng $5$ bi xanh và $7$ bi đỏ. Bạn Nobodyv3 liên tục bốc ra (không hoàn lại) mỗi lần một viên bi, cho đến khi bốc được liên tiếp $2$ bi đỏ thì dừng lại. Tính xác suất: “đến khi dừng lại số bi bạn Nobodyv3 đã bốc ra là số lẻ!” (Các bi chỉ khác nhau về màu sắc)


#745816 Trò chơi đổ xúc xắc

Gửi bởi hxthanh trong 05-08-2024 - 02:54

Một nhà cái bày ra trò chơi đổ xúc xắc như sau: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất với các mặt đánh số từ 1 đến 6. Có 4 cửa để cho người chơi lựa chọn 1,2,3,4. Tiền thưởng cho mỗi cửa là 1/4 (thua mất 1, được ăn 4) Xúc xắc ra các mặt 5, 6 thì nhà cái ăn tất. Theo bạn thì trò chơi này có công bằng không? Liệu nhà cái có thua? Để cho công bằng thì tỉ lệ tiền thưởng ở mỗi cửa phải điều chỉnh như thế nào?