Bài viết rất công phu chứa đựng rất nhiều kiến thức nghiên cứu chuyên sâu mang tính thời sự của tác giả. Đáng tiếc mình chưa đủ trình độ để lĩnh hội, à không, phải nói là đọc hiểu được những vấn đề này. Đề nghị BBT đăng bài này lên page của diễn đàn.
Nhân kỷ niệm 20 năm thành lập diễn đàn, mình xin chia sẻ với các bạn một vài bài toán tổ hợp dưới góc nhìn dãy số và phần nguyên. Đây không phải chuyên đề vì tính áp dụng không cao, số lượng bài toán cũng khá hạn chế mong bạn đọc thông cảm. Về phần bài tập tự luyện thì đã có một vài bài xuất hiện trên diễn đàn, còn lại mình không đưa ra lời giải. Nếu muốn bạn có thể up lên diễn đàn chúng ta "từ từ thảo luận".
Nội dung bài viết cũng khá sơ sài, rất mong nhận được sự ủng hộ và đóng góp của các bạn, để mình hoàn thiện bài viết hơn cho những cập nhật sau. Approximate_sums_of_Floor_Function.pdf260.2K32 Số lần tải
Bài 4. Cho số thực $\alpha\in (1;+\infty)$ và đa thức hệ số thực $P(x)$ có bậc $24$, đồng thời hệ số cao nhất và hệ số tự do đều là $1$. Giả sử rằng $P(x)$ có $24$ nghiệm thực dương không quá $\alpha$. Chứng minh rằng $$\left|P(1)\right|\le \left(\dfrac{19}{5}\right)^5(\alpha-1)^{24}.$$
Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ theo thứ tự tại $D, E, F$. Tia $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $M$, tiếp tuyến tại $A$ và $M$ của $(O)$ cắt nhau ở $S$, tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau ở $T$. Giả sử $IT$ cắt $OA$ tại $J$. Chứng minh rằng:
$$\angle ASJ =\angle TSI.$$
Bài 6. Cho đa thức $P(x)$ hệ số nguyên, khác hằng. Tìm tất cả đa thức $Q(x)$ hệ số nguyên thoả mãn điều kiện: với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại đa thức $R_n(x)$ có hệ số nguyên sao cho $$Q(x)^{2n}-1=R_n(x)(P(x)^{2n}-1).$$
$\newcommand{fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
Gọi $\|1,4,4,5;n\|$ là số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+4(x_2+x_3)+5x_4=n$
Chứng minh rằng:
\begin{equation}\label{e1}
\|1,4,4,5;n\|=\fl{\dfrac{2n^3+42n^2+265n+30(n+3)[(n+1\!\!\mod 4)-(n\!\!\mod 4)]-15n(-1)^n+960)}{960}}
\end{equation} Nhận xét
Bài toán này quá mang tính… đánh đố với người đọc! Nó được ra đời là do “hậu quả” của việc gộp… 20 công thức lại với nhau! Tất cả như dưới đây, thể hiện độ “rảnh” của tác giả đã đạt tới max level.
\begin{equation}\label{e2}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+480}{480},\quad (n\equiv 0,4\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e3}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+384}{480},\quad (n\equiv 8\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e4}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+288}{480},\quad (n\equiv 12,16\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e5}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+155n+303}{480},\quad (n\equiv 1,17\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e6}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+155n+495}{480},\quad (n\equiv 5,9\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e7}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+155n+399}{480},\quad (n\equiv 13\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e8}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+108}{480},\quad (n\equiv 2,6\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e9}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+300}{480},\quad (n\equiv 10,14\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e10}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+204}{480},\quad (n\equiv 18\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e11}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+95n-21}{480},\quad (n\equiv 3\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e12}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+95n-117}{480},\quad (n\equiv 7,11\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e13}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+95n+75}{480},\quad (n\equiv 15,19\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
Bạn có thể thử sức với một trong số các công thức trên.
Sau một thời gian lên bờ xuống ruộng, xin trình bày lời giải của một học sinh có chỉ số IQ không cao, chính là em đây!
$$\begin {align}
[x^{3n-4}]&(1+x+x^2+x^4)^n=[x^{3n-4}]x^{3n}(x^{-3})^n(1+x+x^2+x^4)^n\\&=[x^{3n-4}]x^{3n}(x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}+x)^n\\
&=[x^{-4}](x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}+x)^n\\
&=[y^4](y^3+y^2+y+y^{-1})^n\\
&=[y^4](y^{-1}+y+y^2+y^3)^n\\
&=[y^4]((y^{-1}+1+y+y^2+y^3)-1)^n\\
\displaystyle &=\sum_{q=2}^n (-1)^{n-q} \binom{n}{q}[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^q\\
&=\sum_{q=2}^n (-1)^{n-q} \binom{n}{q} [y^4]\dfrac{(1-y^5)^q}{y^q(1-y)^q}\\
\displaystyle &=[y^4]\sum_{q=2}^n \sum_{r=0}^q\sum_{s=0}^\infty
(-1)^{n-q+r}\binom{n}{q}\binom{q}{r}\binom{q-1+s}{q-1}y^{s+5r-q}\\
&\boldsymbol {\displaystyle =\sum_{q=2}^n \sum_{r=0}^q
(-1)^{n-q+r}\binom{n}{q}\binom{q}{r}\binom{3+2q-5r}{q-1}}\end{align} $$
Chú thích :
$(4): \text{Đặt $y=x^{-1}$}$
$(7): \text {do $[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^0=[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^1=0$}$
$(10): \text {do $ s=q-5r+4\ge 0$ }$
Thử vài giá trị $n$ :
$n=2:\, \displaystyle \sum_{r=0}^2
(-1)^{r}\binom{2}{r}\binom{7-5r}{1}=7-2\cdot 2=3$
$n=3:\,\displaystyle \sum_{q=2}^3 \sum_{r=0}^q
(-1)^{3-q+r}\binom{3}{q}\binom{q}{r}\binom{3+2q-5r}{q-1}$
$\displaystyle =\sum_{r=0}^3(-1)^{r}\binom{3}{r}\binom{9-5r}{2}
-3\sum_{r=0}^2 (-1)^{r}\binom{2}{r}\binom{7-5r}{1}$
$=(36-3\cdot 6)-3(7-2\cdot 2)=9$
Một bài làm rất công phu và nói lên nhiều thứ cần học hỏi! Mình cũng đã thử sức với bài này và cũng ra được một biểu thức tổng kép cồng kềnh rất khó xử lý rút gọn. Có thể bài toán này không tồn tại một kết quả đẹp được.
$\newcommand{\fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
Bài này mình tình cờ đọc được trong một paper nào đó không nhớ rõ lắm. Trong đó họ ký hiệu $\|1,2,3,6;n\|$ để chỉ số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+2x_2+3x_3+6x_6=n$
Theo như công thức khủng bố trong đó thì mình tóm tắt lại thành:
$$ \|1,2,3,6;n\| = \fl{\dfrac{2n^3+36n^2+191n+8n(n+2\!\!\mod 4)-8n(n\!\!\mod 4)+9n(-1)^n+432}{432}}$$
Hay với $n\equiv 0\pmod 6$ thì
$$=\fl{\dfrac{(n+6)^3}{216}}$$
Và khi thay $n$ thành $6n$ thì ta có đáp án là $\mathbf{(n+1)^3}$
Cảm ơn Nesbit trước nhé! Thật may mắn được em phản hồi luôn . Chẳng là anh đang có một project nho nhỏ khai thác về khai triển Maclaurin của hàm
$$F(x)=\dfrac{1}{(1-x)(1-x^a)(1-x^b)(1-x^c)}$$
Nội dung của nó lại liên quan và sử dụng rất nhiều đến $\fl{FloorFunction}$, vậy nên anh mới đề xuất vấn đề trên (hơi lạm dụng )
Mong em giúp đỡ! Nói gì thì nói, công việc cuộc sống vẫn là ưu tiên hàng đầu.
Tìm kiếm
Nam
Gửi bởi
trong 03-04-2024 - 22:10
Approximate_sums_of_Floor_Function.pdf 260.2K
32 Số lần tải
Combinatorial Problems in Mathematical Competitions.djvu 1.44MB
22 Số lần tải
. Chẳng là anh đang có một project nho nhỏ khai thác về khai triển Maclaurin của hàm 
)
