Tại sao khi chọn cs cuối cùng lại còn 1 cách vậy
Giả sử tổng các chữ số trước khi chọn chữ số cuối cùng là $S$
$S\equiv r\!\pmod 9$ thì chọn chữ số cuối cùng là $9-r$ với $r=1,...,8$
Nếu $r=0$ thì sẽ có 2 cách chọn là $0,9$
- Don Quixote yêu thích
Gửi bởi hxthanh trong 03-04-2024 - 22:10
Tại sao khi chọn cs cuối cùng lại còn 1 cách vậy
Giả sử tổng các chữ số trước khi chọn chữ số cuối cùng là $S$
$S\equiv r\!\pmod 9$ thì chọn chữ số cuối cùng là $9-r$ với $r=1,...,8$
Nếu $r=0$ thì sẽ có 2 cách chọn là $0,9$
Gửi bởi hxthanh trong 01-04-2024 - 22:36
Gửi bởi hxthanh trong 01-04-2024 - 10:42
Gửi bởi hxthanh trong 29-03-2024 - 12:29
Tài liệu tổ hợp rời rạc tổng hợp của chị Na
Combinatorial Problems in Mathematical Competitions.djvu 1.44MB 22 Số lần tải
Gửi bởi hxthanh trong 27-03-2024 - 16:28
Đề thi chọn đội tuyển Olympic quốc tế năm 2024
Thời gian: 270 phút
Ngày thi thứ hai: 27/03/2024
Bài 4. Cho số thực $\alpha\in (1;+\infty)$ và đa thức hệ số thực $P(x)$ có bậc $24$, đồng thời hệ số cao nhất và hệ số tự do đều là $1$. Giả sử rằng $P(x)$ có $24$ nghiệm thực dương không quá $\alpha$. Chứng minh rằng
$$\left|P(1)\right|\le \left(\dfrac{19}{5}\right)^5(\alpha-1)^{24}.$$
Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ theo thứ tự tại $D, E, F$. Tia $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $M$, tiếp tuyến tại $A$ và $M$ của $(O)$ cắt nhau ở $S$, tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau ở $T$. Giả sử $IT$ cắt $OA$ tại $J$. Chứng minh rằng:
$$\angle ASJ =\angle TSI.$$
Bài 6. Cho đa thức $P(x)$ hệ số nguyên, khác hằng. Tìm tất cả đa thức $Q(x)$ hệ số nguyên thoả mãn điều kiện: với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại đa thức $R_n(x)$ có hệ số nguyên sao cho
$$Q(x)^{2n}-1=R_n(x)(P(x)^{2n}-1).$$
Nguồn: Hướng tới Olympic Toán VN (nhóm facebook)
Gửi bởi hxthanh trong 26-03-2024 - 12:37
$\newcommand{fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
Với $n$ là số nguyên dương cho trước. $\fl x$ là hàm phần nguyên - Floor function
Tìm giới hạn sau:
$$L=\lim\limits_{x\to n^-} \fl{x^2\fl{x^2\fl{x^2}}}$$
Gửi bởi hxthanh trong 25-03-2024 - 22:32
Gửi bởi hxthanh trong 24-03-2024 - 09:38
Một bài làm rất công phu và nói lên nhiều thứ cần học hỏi! Mình cũng đã thử sức với bài này và cũng ra được một biểu thức tổng kép cồng kềnh rất khó xử lý rút gọn. Có thể bài toán này không tồn tại một kết quả đẹp được.Sau một thời gian lên bờ xuống ruộng, xin trình bày lời giải của một học sinh có chỉ số IQ không cao, chính là em đây!
$$\begin {align}
[x^{3n-4}]&(1+x+x^2+x^4)^n=[x^{3n-4}]x^{3n}(x^{-3})^n(1+x+x^2+x^4)^n\\&=[x^{3n-4}]x^{3n}(x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}+x)^n\\
&=[x^{-4}](x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}+x)^n\\
&=[y^4](y^3+y^2+y+y^{-1})^n\\
&=[y^4](y^{-1}+y+y^2+y^3)^n\\
&=[y^4]((y^{-1}+1+y+y^2+y^3)-1)^n\\
\displaystyle &=\sum_{q=2}^n (-1)^{n-q} \binom{n}{q}[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^q\\
&=\sum_{q=2}^n (-1)^{n-q} \binom{n}{q} [y^4]\dfrac{(1-y^5)^q}{y^q(1-y)^q}\\
\displaystyle &=[y^4]\sum_{q=2}^n \sum_{r=0}^q\sum_{s=0}^\infty
(-1)^{n-q+r}\binom{n}{q}\binom{q}{r}\binom{q-1+s}{q-1}y^{s+5r-q}\\
&\boldsymbol {\displaystyle =\sum_{q=2}^n \sum_{r=0}^q
(-1)^{n-q+r}\binom{n}{q}\binom{q}{r}\binom{3+2q-5r}{q-1}}\end{align} $$
Chú thích :
$(4): \text{Đặt $y=x^{-1}$}$
$(7): \text {do $[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^0=[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^1=0$}$
$(10): \text {do $ s=q-5r+4\ge 0$ }$
Thử vài giá trị $n$ :
$n=2:\, \displaystyle \sum_{r=0}^2
(-1)^{r}\binom{2}{r}\binom{7-5r}{1}=7-2\cdot 2=3$
$n=3:\,\displaystyle \sum_{q=2}^3 \sum_{r=0}^q
(-1)^{3-q+r}\binom{3}{q}\binom{q}{r}\binom{3+2q-5r}{q-1}$
$\displaystyle =\sum_{r=0}^3(-1)^{r}\binom{3}{r}\binom{9-5r}{2}
-3\sum_{r=0}^2 (-1)^{r}\binom{2}{r}\binom{7-5r}{1}$
$=(36-3\cdot 6)-3(7-2\cdot 2)=9$
Gửi bởi hxthanh trong 21-03-2024 - 19:25
$\newcommand{\fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
Bài này mình tình cờ đọc được trong một paper nào đó không nhớ rõ lắm. Trong đó họ ký hiệu $\|1,2,3,6;n\|$ để chỉ số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+2x_2+3x_3+6x_6=n$
Theo như công thức khủng bố trong đó thì mình tóm tắt lại thành:
$$ \|1,2,3,6;n\| = \fl{\dfrac{2n^3+36n^2+191n+8n(n+2\!\!\mod 4)-8n(n\!\!\mod 4)+9n(-1)^n+432}{432}}$$
Hay với $n\equiv 0\pmod 6$ thì
$$=\fl{\dfrac{(n+6)^3}{216}}$$
Và khi thay $n$ thành $6n$ thì ta có đáp án là $\mathbf{(n+1)^3}$
Gửi bởi hxthanh trong 20-03-2024 - 22:14
Gửi bởi hxthanh trong 20-03-2024 - 12:44
Gửi bởi hxthanh trong 20-03-2024 - 12:29
Nesbit xem xét add cho mình thêm lệnh
\newcommand{\fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
vào article diễn đàn được không
Để thay vì gõ
$\left\lfloor equation \right\rfloor$
thì chỉ phải gõ
$\fl{equation}$
$\newcommand{\fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$ $\fl{\dfrac n4}$
$\newcommand{\fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
$\fl{\dfrac n4}$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học