hxthanh

Nhân kỷ niệm 20 năm thành lập diễn đàn, mình xin chia sẻ với các bạn một vài bài toán tổ hợp dưới góc nhìn dãy số và phần nguyên. Đây không phải chuyên đề vì tính áp dụng không cao, số lượng bài toán cũng khá hạn chế mong bạn đọc thông cảm. Về phần bài tập tự luyện thì đã có một vài bài xuất hiện trên diễn đàn, còn lại mình không đưa ra lời giải. Nếu muốn bạn có thể up lên diễn đàn chúng ta "từ từ thảo luận".
Nội dung bài viết cũng khá sơ sài, rất mong nhận được sự ủng hộ và đóng góp của các bạn, để mình hoàn thiện bài viết hơn cho những cập nhật sau.
 Approximate_sums_of_Floor_Function.pdf   260.2K   32 Số lần tải

Tài liệu tổ hợp rời rạc tổng hợp của chị Na 

 Combinatorial Problems in Mathematical Competitions.djvu   1.44MB   22 Số lần tải

$\newcommand{fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$

Với $n$ là số nguyên dương cho trước. $\fl x$ là hàm phần nguyên - Floor function

Tìm giới hạn sau:

$$L=\lim\limits_{x\to n^-} \fl{x^2\fl{x^2\fl{x^2}}}$$

$\newcommand{fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
Gọi $\|1,4,4,5;n\|$ là số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+4(x_2+x_3)+5x_4=n$
Chứng minh rằng:
\begin{equation}\label{e1}
\|1,4,4,5;n\|=\fl{\dfrac{2n^3+42n^2+265n+30(n+3)[(n+1\!\!\mod 4)-(n\!\!\mod 4)]-15n(-1)^n+960)}{960}}
\end{equation}

Bài toán này quá mang tính… đánh đố với người đọc! Nó được ra đời là do “hậu quả” của việc gộp… 20 công thức lại với nhau! Tất cả như dưới đây, thể hiện độ “rảnh” của tác giả đã đạt tới max level.

\begin{equation}\label{e2}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+480}{480},\quad (n\equiv 0,4\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e3}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+384}{480},\quad (n\equiv 8\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e4}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+288}{480},\quad (n\equiv 12,16\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e5}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+155n+303}{480},\quad (n\equiv 1,17\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e6}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+155n+495}{480},\quad (n\equiv 5,9\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e7}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+155n+399}{480},\quad (n\equiv 13\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e8}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+108}{480},\quad (n\equiv 2,6\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e9}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+300}{480},\quad (n\equiv 10,14\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e10}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+140n+204}{480},\quad (n\equiv 18\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e11}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+95n-21}{480},\quad (n\equiv 3\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e12}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+95n-117}{480},\quad (n\equiv 7,11\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
\begin{equation}\label{e13}
\|1,4,4,5;n\|=\dfrac{n^3+21n^2+95n+75}{480},\quad (n\equiv 15,19\!\!\!\pmod{20})
\end{equation}
Bạn có thể thử sức với một trong số các công thức trên.

Có bốn chiếc hộp được viết lên các số theo thứ tự là $1,2,3,6$. Bạn Nobodyv3 muốn chia toàn bộ $6n$ viên bi giống nhau vào các hộp trên sao cho số lượng bi trong mỗi hộp là bội của số được viết lên chúng. Bạn hãy tính xem bạn Nobodyv3 có tất cả bao nhiêu cách chia?