DBSK

Dùng p,q,r chắc ngon!
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lần sau bạn trình bày hẳn ra nhé Thân!

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$
Tìm min của:
$P=\sum \frac{1}{ab+2c^2+2c}$

Không thể giả sử $a \ge b \ge c$ do thiếu tính đối xứng của bất đẳng thức.

Không thể giả sử $a \ge b \ge c$ do thiếu tính đối xứng của bất đẳng thức.

Nếu vậy thì làm kiểu này:

Sử dụng giải thiết $a+b+c=1$ và BĐT $Cauchy-Schwarz$ta có:
$\sum\dfrac{a^2}{b+c}=\sum\dfrac{a^2(a+b+c)}{b+c}=\sum\dfrac{a^3}{b+c}+\sum{a^2}$
$\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)}+a^2+b^2+c^2\ge \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{2}$
Và $\sum\dfrac{b^2c}{b+c}=\sum\dfrac{b^2c^2}{bc+c^2}\ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{\sum{ab}+\sum{a^2}}$
Khi đó, đặt $t=ab+bc+ca (0<t\le \dfrac{1}{3})$ ta suy ra được:$VT\ge \dfrac{t^2}{1-t}-3t+\dfrac{3}{2}$
Xét $f(t)=\dfrac{t^2}{1-t}-3t+\dfrac{3}{2}$ trên $(0;\dfrac{1}{3}]$
$f'(t)<0 \Rightarrow f(t)\ge f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow VT\ge \dfrac{2}{3}$
Điều phải chứng minh.[/b]

Có em đây em là fan của ra cũng như cr7 mong năm nay anh ấy có thể đạt quả bóng vàng!

Cho $ \dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\geq 1$
Tìm max $abc$

Bạn hãy đặt tiêu đề rõ ràng bằng Latex, không nên đặt là: ... đây, giúp ... với, một bài ... hay, ...

Ta có:
$\dfrac{1}{a+2} \geq (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{b+2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{c+2})$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a+2} \geq \dfrac{b}{2(b+2)} +\dfrac{c}{2(c+2)} \geq 2\sqrt{\dfrac{b}{2(b+2)} .\dfrac{c}{2(c+2)}} $
Lamf tương tự như vậy rồi nhân các BDT lại ta được ĐPCM!

1. Cho a,b,c >0. Min, Max của
S= $\dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{4b}{a+c}+ \dfrac{9c}{a+b}$

2.Cho a,b,c >0. CMR:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$

3.Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn: ab+bc+cd+da=3
Min S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b}$

4.Cho x,y,z thỏa mãn x+2y-2z=1.
Tìm Min S= $x^2+y^2+z^2$

1. Cho a,b,c >0. Min, Max của
S= $\dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{4b}{a+c}+ \dfrac{9c}{a+b}$

2.Cho a,b,c >0. CMR:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$

3.Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn: ab+bc+cd+da=3
Min S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b}$

4.Cho x,y,z thỏa mãn x+2y-2z=1.
Tìm Min S= $x^2+y^2+z^2$

Bài 2:
Ta có:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$
$\Leftrightarrow 1-\dfrac{a}{1+a}+ 2-\dfrac{2b}{2+b}+ 3-\dfrac{3c}{3+c} \geq 6-\dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$
$\Leftrightarrow {1}{1+a}+ \dfrac{4}{2+b}+ \dfrac{9}{3+c} \geq \dfrac{36}{6+a+b+c}$
Đúng theo C-S!
Bài 4:
Chắc bạn chép đề thiếu!
S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b} + \dfrac{d^3}{a+b+c}$

Bài 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =(x + y)(x + z) trong đó x, y, z là 3 số dương thay đổi thỏa mãn: (x + y + z)xyz =1

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn:
$\large \left\{\begin{matrix} a\geq 0, b\geqslant 0\\ a+2b-4c+2=0 \\ 2a-b+7c-11=0 \end{matrix}\right.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q= 6a + 7b +2006c

Bài 3: Cho a,b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện:
$\large a^{2}- 3ab+ 2b^{2}+a-b= a^{2}- 2ab+ b^{2}-5a+7b= 0$
CMR: ab - 12a +15b =0

Bài 4: Cho các số thực x,y thỏa mãn: $\large x^{2}+y^{2}=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P= x - $\large \sqrt{5}y$

Bài 5:Cho ba số dương thỏa mãn: a + b + c=1
CMR: $\large \dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\geqslant 16$

Bài 6: Cho x,y là các số dương thỏa mãn: $\large x + \dfrac{1}{y}\leqslant 1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của A= $\large \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$

Bài 1:
Ta có:
$(x+y)(x+z)=x(x+y+z)+yz = x(x+y+z) + \frac{1}{x(x+y+z))} \geq 2$
Bài 5:
Ta có:
$\large \dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc} =\frac{1}{c}( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}) \geq \frac{4}{c(a+b)} \geq \frac{4}{\frac{(a+b+c)^2}{4}} = 16 $

Đây nè bạn:

Như thế này.
Đặt $a = \dfrac{1}{x};b = \dfrac{1}{y};c = \dfrac{1}{z}$. Khi đó từ giả thiết ta có: $ab + bc + ca = 1$
và $A = \dfrac{{2a}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {1 + {c^2}} }}$
Do $ab + bc + ca = 1$ nên $1 + {a^2} = ab + bc + ca + {a^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)$. Với các đẳng thức tương tự, ta có:
$A = \dfrac{{2a}}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} + \dfrac{{2b}}{{\sqrt {4\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)} }} + \dfrac{{2c}}{{\sqrt {4\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)} }}$
$\le a\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{a + c}}} \right) + b\left( {\dfrac{1}{{4\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) + c\left( {\dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{4\left( {c + b} \right)}}} \right) = \dfrac{9}{4}$ (áp dụng AM-GM)
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow b = c = \dfrac{1}{7}a \Leftrightarrow y = z = 7x = \sqrt {15} $
Vậy $\max A = \dfrac{9}{4}$ đạt được khi $y = z = 7x = \sqrt {15} $.

$\dfrac{1^1}{1!}+\dfrac{2^2}{3!}+\dfrac{3^3}{5!}+....+\dfrac{29^{29}}{57!}+\dfrac{30^{30}}{59!} $

$a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$

Ta có:
$a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
$\Leftrightarrow \dfrac{a+2b+c}{(1-a)(1-c)} \geq 4(1-b)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-c} \geq 4(1-b)$
Ta lại có:
$\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-c} \geq \dfrac{4}{1+b} $
Mà:
$\dfrac{4}{1+b} \geq 4(1-b)$ (Biến đổi tương đương)
Suy ra Q.E.D

[

Bài 54 Cho $x;\,y;\,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy + yz + zx = 3xyz$, chứng minh rằng:
$\dfrac{y^2}{xy^2+2z^2}+\dfrac{x^2}{zx^2+2y^2}+ \dfrac{z^2}{yz^2+2x^2}\ge 1$
Bài 56 Cho ba số thực dương $a;\,b;\,c$ có $abc=1$]. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P=\dfrac{a^2b}{a+b}+\dfrac{b^2c}{b+c}+\dfrac{c^2a}{c+a}$

Bài 54:
Từ giả thiết $\rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3$
Đặt $\dfrac{1}{x}=a,\dfrac{1}{y}=b,\dfrac{1}{z}=c \Rightarrow a+b+c=3$
BDT$ \Rightarrow \sum \dfrac{a^2}{a+2b^2}\ge 1$
$\Rightarrow \sum (a-\dfrac{2ab^2}{a+2b^2})\ge 1$
$\Leftrightarrow 3-\sum\dfrac{2ab^2}{a+2b^2}\ge 1$
Ta có:

$\dfrac{2ab^2}{a+2b^2}\le^{AM-GM} \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}$

Tương tự ta có:

$VT\ge 3-\dfrac{2}{3}(\sum\sqrt[3]{a^2b^2})$

Mà:

$\sum\sqrt[3]{a^2b^2}\le \sum\dfrac{ab+ab+1}{3}=\dfrac{2}{3}(ab+bc+ca)+1\le 3$
Vậy $VT \ge 3-2=1 (dpcm)$
Bài 56:
$ abc=1\to a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}$

${{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}+3\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}} \right)$
$={{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}+\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}} \right)\le \dfrac{4}{3}{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}$

$ P=\sum\limits_{cyc}{\dfrac{{{a}^{2}}b}{a+b}} = \sum\limits_{cyc}{\dfrac{\dfrac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}.\dfrac{y}{z}}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}}} = \sum\limits_{cyc}{\dfrac{2{{x}^{2}}}{2xz+2{{y}^{2}}}} \overset{AM-GM}{ \ge }\,2.\sum\limits_{cyc}{\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{z}^{2}}+2{{y}^{2}}}}$
$\overset{Cauchy-Schwarz}{ \ge }\,2.\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}} + 3\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}} \right)}\ge 2.\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}$

Từ đó: $P=\sum\limits_{cyc}{\dfrac{{{a}^{2}}b}{a+b}}\ge \dfrac{3}{2}$