Đến nội dung

tranghieu95

tranghieu95

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: 20-11-2023 - 23:38
*****

$ \sqrt[3]{25x(2x^2+9)} \geq 4x+\dfrac{3}{x} $

28-06-2015 - 01:20

Giải bất phương trình:

$ \sqrt[3]{25x(2x^2+9)} \geq 4x+\dfrac{3}{x} $

Tìm nghiệm nguyên

15-06-2015 - 22:23

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

(x+y2)(x2+y)=(y-x)2

 


India National Olympiad 2013

11-02-2013 - 10:01

Câu 1: Cho $ \Gamma 1$ và $ \Gamma 2$ là 2 đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại $R$. $O_1$, $O_2$ lần lượt là tâm của đường tròn$ \Gamma 1$ và $ \Gamma 2$. Gọi $l_1$ là đường thẳng qua $O_1$ và tiếp xúc với $ \Gamma 2$ tại $P$, $l_2$ là đường thẳng qua $O_2$ và tiếp xúc với $ \Gamma 1$ tại $Q$. Gọi $K=l_1 \cap l_2$.
Giả sử $KP=PQ$, chứng minh rằng $PQR$ là tam giác đều.

Câu 2: Tìm $m, n \in \mathbb{N}$ và số nguyên tố $p>5$ thỏa mãn:
$$m(4m^2+m+12)=3(p^n-1)$$

Câu 3: Cho $a, b, c, d \in \mathbb{N}$ và $a \geq b \geq c \geq d$.
Chứng minh rằng: phương trình $x^4-ax^3-bx^2-cx-d=0$ vô nghiệm.

Câu 4: Cho $N$ là số nguyên dương lớn hơn $1$ và $T_n$ là số tập con S khác rỗng của tập hợp ${1; 2; ... ; n} $ sao cho trung bình cộng các phần tử của S là số nguyên.
Chứng minh rằng: $T_n-n$ là số chẵn.


Câu 5: Cho tam giác $ABC$ có $O, G, H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm. Lấy $D \in BC, E \in CA$ và $OD \perp BC, HE \perp CA$. Gọi $F$ là trung điểm của $AB$.
Nếu các tam giác $ODC, HEA, GFB$ có cùng diện tích, tìm tất cả các giá trị của $\widehat{ACB}$.

Câu 6:
Cho $a, b, c, x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x+y+z=a+b+c$ và $xyz=abc$. Giả sử $a \leq x <y <t \leq c$ và $a<b<c$.
Chứng minh rằng: $a=x, b=y, c=z$

Dãy số Hailstone

18-01-2013 - 21:52

Đây là một bài toán khá đơn giản để để miêu tả nó nhưng lại là một bài toán chưa có lời giải.

mua-da.png

Với mọi số nguyên dương $m$ ta xây dựng dãy số như sau:

  • Nếu $m$ chẵn, ta chia $m$ cho $2$ ta được: $m'=\dfrac{m}{2}$
  • Nếu $m$ lẻ, nhân $m$ với $3$ và cộng thêm $1$ ta được: $m'=3m+1$

Sau đó ta coi $m'$ là số bắt đầu và lặp lại quá trình trên.

Nói cách khác, ta xét dãy $(u_n)$ có $u_1=m \in \mathbb{N}^*$ và:

$$u_{n+1}=\left\{\begin{matrix} \dfrac{u_n}{2},&\text{khi } u_n = 2k\\ 3u_n+1,&\text{khi } u_n=2k+1\end{matrix}\right., (k\in \mathbb{N}), \forall n \geq 1$$

Ví dụ:

Khi $m=5$ ta có dãy số sau:

$$5; 16; 8; 4; 3; 1; 4; 2; 1; ...$$

Khi $m=11$ ta có dãy số sau:

$$11; 34; 17; 52; 26; 13; 40; 20; 10; 5; 16; 8; 4; 2; 1; 4; 2; 1;...$$

 

Chúng đôi khi được gọi là " dãy Hailstone" (dãy mưa đá) vì chu kỳ vô tận $4; 2; 1; 4; 2; 1$ đi lên và xuống giống như một hạt mưa đá trong một đám mây trước khi đâm xuống mặt đất. Có vẻ như từ một số dãy số trên, ta thấy được chúng đều kết thúc bằng $4; 2; 1; 4; 2; 1$. Nhưng một số giá trị của $m$ lại khiến cho dãy có nhiều số hạng trước khi chu kỳ $4;2;1$ trên bắt đầu. Ví dụ khi $m=27$, ta có thể thấy từ số hạng thứ $110$ thì chu kì mới xuất hiện.

 

Một vấn đề chưa được giải quyết, đó là: có phải với mọi giá trị của $m$, dãy số $(u_n)$ xác định như trên luôn xuất hiện chu kì $4;2;1$ kề từ số hạng nào đó trở đi hay không? Có dãy số $(u_n)$ nào không có chu kì đó hay không?

 

Dịch theo http://plus.maths.org

Mời bạn thảo luận thêm tại đây


Bài toán về điểm đối trung

27-12-2012 - 20:27

Cho tam giác $ABC$ có $P$ là điểm đối trung. Gọi $A'; B'; C'$ lần lượt là điểm đối xứng với $P$ qua $BC; CA; AB$.
CMR: đường tròn ngoại tiếp các tam giác $A'B'C'; ABC'; BCA'; CAB'$ cùng đi qua 1 điểm.