Bui Quang Dong

ai giải giùm mình bài bất đẳng thức cái

giả sử $ x = max{x,y,z}$
=> $P \le x^3y+x^2yz+\dfrac{1}{2}x^3z+\dfrac{1}{2}x^2z^2 =x^2(x+z)(y+\dfrac{1}{2}z) = 27(\dfrac{x}{3})(\dfrac{x}{3})(\dfrac{x+z}{3})(y+\dfrac{1}{2}z) \le 27.\dfrac{(x+y+\dfrac{5}{6}z)^4}{4^4} \le 27.\dfrac{(x+y+z)^4}{4^4} = 432$
dấu bằng xảy ra khi (x,y,z) =(6,2,0) và các hoán vị
công nhận là đề năm nay khó hơn đề mọi năm

Đây là cách của tớ. Nếu sai xin chỉ giáo.

Gọi O,H,I,K là tâm đường tròn ngoại tiếp,trực tâm,tâm nội tiếp,tâm Euler

Ta có các bổ đề sau
(các bạn tự chứng minh nhé)
1. bán kính đường tròn Euler bằng 1 nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp = $\dfrac{R}{2}$
2. $OI^2=R^2-2Rr$
3. $IH^2=4R^2-\dfrac{a^3+b^3+c^3+abc}{a+b+c}$
3. $OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$
4. K là trung điểm OH
5. công thức trung tuyến
${m_a}^2=\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{c^2}{4}$
6.$r^2=\dfrac{S^2}{p^2}=\dfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} = (ab+bc+ca)-\dfrac{(a+b+c)^2}{4} - \dfrac{2abc}{a+b+c}$

quay trở lại bài toán ta sẽ cm
$IK=R_{Euler}-r=\dfrac{R}{2}-r$

để ý đường tròn Euler và đường tròn nội tiếp không thể tiếp xúc ngoài nhau

$ IK^2=(\dfrac{R}{2}-r)^2$
<=> $ \dfrac{IH^2+IO^2}{2}-\dfrac{OH^2}{4}
= \dfrac{R^2}{4}-Rr+r^2$
<=> $ \dfrac{IO^2}{2}+Rr +\dfrac{IH^2}{2}=\dfrac{OH}{4}+r^2 + \dfrac{R^2}{4}$
<=> $2IH^2+R^2=4r^2+OH^2$
thay IH,OH,r bởi các hệ thức phía trên ta có đpcm
=> Đường tròn Euler luôn tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp