Đến nội dung

Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

Đăng ký: 09-05-2011
Offline Đăng nhập: 03-08-2021 - 21:18
***--

#367048 Cách chia các đội bơi

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 04-11-2012 - 17:07

Bài toán: Một câu lạc bộ bơi lội có n thành viên tổ chức 4 cuộc bơi lội và $F_1$, $F_2$, $F_3$, $F_4$ là các đội tham gia vào các cuộc bơi lội ấy. Hỏi có bao nhiêu cách chia các đội sao cho $F_{1}\cap F_{2}\neq\varnothing$, $F_{2}\cap F_{3}\neq\varnothing$, $F_{3}\cap F_{4}\neq\varnothing$.


#365188 [MO2013] Trận 10 - Phương trình hàm, đa thức

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 27-10-2012 - 12:01

Kí hiệu $(*)$ là phương trình hàm đã cho.
Lần lượt cho $x=-1$, $y=0$ ta có $f(0)=y(f(-1)+1)$, $\forall{y\in\mathbb{R}}$ do đó $f(0)=0$, $f(-1)=-1$. Cho $x=0$ ở $(*)$ ta có $f(f(x))=x$, $\forall{x\in\mathbb{R}}$ $(1)$
Cho $y=f(1)$ ở $(*)$ và sử dụng $(1)$ ta có: $f(x+1)=f(1)(f(x)+1)$, $\forall{y\in\mathbb{R}}$ $(2)$
Tiếp tục cho $x=-2$ ta có $-1=f(1)(f(-2)+1)$
Ở $(*)$, cho $x=-2$, $y=-1$ ta có: $f(1)=-(f(-2)+1)$.
Do đó $f(1)=1$ do $f$ song ánh (từ $(1)$). (Cần chứng minh rõ tính song ánh, một tính chất rất quan trọng trong lập luận)
Và vì vậy: $f(x+1)=f(x)+1$, $\forall{y\in\mathbb{R}}$
Ta sẽ chứng minh $f$ vừa là hàm nhân tính vừa là hàm công tính, thật vậy:
$f(xy)=f(x.f(f(y)))=f([(x-1)+1]f(f(y))=f(y)(f(x-1)+1)=f(x)f(y)$
Từ đó: $f(x)=f(\sqrt{x}.\sqrt{x})=f(\sqrt{x})^2\geq{0}$, $\forall{x\geq{0}}$, $f(x)=0$ tương đương với $x=0$.
Với $y\neq{0}$ thì $f(x+y)=f((\frac{x}{y}+1)y)=f(y)f(\frac{x}{y}+1)=f(y)f(\frac{x}{y})+f(y)=f(x)+f(y)$ (vì $f$ nhân tính)
Vậy nên $f(x)=ax$ thay vào lại $(*)$ ta được $a=1$. Vậy $f(x)=ax$, $\forall{x}\in\mathbb{R}$.
(Theo PTH Cauchy?)
___________
Điểm bài làm: $d=9$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-16}{2}\right\rfloor+3\times 9+0+0=45$


#363224 [MO 2013] Trận 9 - Hình học

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 20-10-2012 - 14:04

Gọi $(K)$ là đường tròn đi qua $A$, tiếp xúc với $d_1$ tại $O$ và $(J)$ là đường tròn đi qua $A$ tiếp xúc với $d_{2}$ tại $O$. Đường tròn $(K)$ cắt lại $d_{2}$ tại $B$, đường tròn $(J)$ cắt lại $d_{1}$ tại $C$, dẫn đến $B$, $C$ cố định. Gọi $D$, $E$ theo thứ tự là trung điểm của $OC$, $OB$. Bởi vì $B$, $C$, $O$ cố định nên rõ ràng $D$, $E$ cố định.
Ta có: $OM_{1}$ tiếp xúc với $(K)$ tại $O$ nên:
$(OA,OM_{1})\equiv (BO,BA)\equiv (BM_{2};BA)$ $(mod\pi)$ (1)
Chú ý rằng: $M_{1}$, $M_{2}$, $O$, $A$ đồng viên nên $(M_{1}A;M_{1}O)\equiv(M_{2}A;M_{2}O)\equiv(M_{2}A;M_{2}B)$ $(mod\pi)$ (2)
Từ (1)(2) suy ra $\Delta OM_{1}A\sim\Delta BM_{2}A$. Do đó: $\frac{OM_{1}}{BM_{2}}=\frac{M_{1}A}{M_{2}A}$ (3)
Tương tự: $\frac{M_{1}A}{M_{2}A}=\frac{CM_{1}}{OM_{2}}$ (4)
Từ (3)(4) suy ra: $\frac{CM_{1}}{OM_{1}}=\frac{OM_{2}}{BM_{2}}$
Từ đó suy ra: $\frac{DO}{DM_{1}}=\frac{EO}{EM_{2}}$.
Đặt $Q=DE\cap M_{1}M_{2}$. Sử dụng định lí Menelaus ta có:
$\frac{DO}{DM_{1}}\frac{QM_{1}}{QM_{2}}\frac{EM_{2}}{EO}=1$ suy ra: $\frac{QM_{1}}{QM_{2}}=1$ suy ra $Q$ là trung điểm $M_{1}M_{2}$. Từ đó ta có đpcm.

D-B=18.1h
E=10
F=0
S=46.9

Hình gửi kèm

  • untitled1.PNG



#359994 [MO2013] Trận 7 - Dãy số, giới hạn

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 08-10-2012 - 11:16

Bài này kì quá,giải rồi mà chắc là sai,nhưng vẫn gửi bài lên coi sai chổ nào :icon6: .




Ta có nhận xét :$\left\{\begin{matrix} sin\alpha < 0 (\pi < \alpha < 2\pi )\\ sin \beta > 0(0< \beta < \pi ) \end{matrix}\right.$

Khi đó với n lẻ thì $n=2k+1$ ($k\geq$ 0)

=>$sin ({\pi \sqrt {n^2 + n}})=sin(\pi \sqrt{4k^2+6k+2})=sin[2k\pi+(\sqrt{4k^2+6k+2})-2k)]=sin[\pi (\sqrt{4k^2+6k+2})-2k)]$.

Mà $\sqrt{4k^2+6k+2}> 2k+1<=>2k+1> 0$ (luôn đúng)

Và $\sqrt{4k^2+6k+2}< 2k+2<=>2k+2> 0$ (luôn đúng)

=>$1< \sqrt{4k^2+6k+2}-2k< 2$

<=>$\pi < \pi (\sqrt{4k^2+6k+2}-2k)< 2\pi$

=>$sin[\pi (\sqrt{4k^2+6k+2}-2k)]< 0$

Vậy với n lẻ thì $\lim_{n \to +\infty }sin(\pi \sqrt{n^2+n})= -1$.

Tương tự với trường hợp n chẵn thì $\lim_{n \to +\infty }sin(\pi \sqrt{n^2+n})= 1$

Vậy ta có 2 kết quả.

Bài này không tồn tại lim bạn ạ, không thể có 2 kết quả được vì khi kết hợp lại thì hai kết quả không bằn nhau.


#358156 [MO2013] Trận 6 - Đa thức - phương trình hàm

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 01-10-2012 - 21:40

Có phải là bài này: http://www.artofprob...2c60900#p366399


#357353 [MO2013] Trận 6 - Đa thức - phương trình hàm

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 28-09-2012 - 21:29

$f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2$, $\forall{x}\in\mathbb{R}$. $(*)$
Cho $x=0$ ở phương trình $(*)$ ta có: $f(f(y))=y+(f(0))^2$, $\forall{x}\in\mathbb{R}$
Do đó $f$ là đơn ánh. Cho $y=0$ ở $(*)$ ta có: $f(x^2+f(0))=f(x^2)$, mà $f$ đơn ánh nên $f(0)=0$ suy ra $f(f(x))=x$, $\forall{x}\in\mathbb{R}$.
Ta có $f(x^2)=(f(x))^2$, $\forall{x}\in\mathbb{R}$. Từ đó suy ra rằng nếu: $x\geq{0}$ thì $f(x)\geq{0}$.
Mặt khác với mọi $x\geq{0}$, $y\in\mathbb{R}$ ta có:
$f(x+y)=f((\sqrt{x})^2+f(f(y)))=f(y)+(f((\sqrt{x})^2))=f(y)+f((\sqrt{x})^2)$ hay $f(x+y)=f(x)+f(y)$.Suy ra với mọi $x>0$ ta có $0=f(0)$ ta có: $-f(x)=f(-x)$ nên $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $\forall{x}\in\mathbb{R}$. Hàm $f$ đồng biến vì với mọi $x<y$ thì $f(y)=f(y-x+x)=f(y-x)+f(x)>f(x)$. Vậy $f$ đồng biến và cộng tính nên có dạng $f(x)=kx$. Thay vào lại $(*)$ ta có $k=1$. Vậy $f(x)=x$, $\forall{x}\in\mathbb{R}$

Sai từ chỗ này


Cho $y=0$ ở $(*)$ ta có: $f(x^2+f(0))=f(x^2)$


S=0


#356530 [MO2013] Trận 5 - Số học

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 25-09-2012 - 11:03

*Nhận xét: Chìa khóa của bài toán ban đầu là c/m $2^{n-1}-1\vdots n$.

MR 1: Chứng minh nếu $ n=\dfrac{a^{2p}-1}{a^2-1}$,trong đó a nguyên $,a>1,p$ là số nguyên tố lẻ, $a(a^2-1) \not\vdots p$ thì $n$ là số giả nguyên tố cơ sở $a$.

C/m:

- Trước hết ta có : $n=\dfrac{a^p-1}{a-1}.\dfrac{a^p+1}{a+1}$ và $\dfrac{a^p-1}{a-1}\in \mathbb{Z};\dfrac{a^p+1}{a+1}\in \mathbb{Z}; |\dfrac{a^p-1}{a-1}| \ge 2 $ nên n là hợp số $(1)$

- Giả thiết tương đương:
$$(a^2-1)(n-1)=a^{2p}-a^2=a(a^{p-1}-1)(a^p+a)$$
Do
$+) a^p+a $chẵn
$+) p|a^{p-1}-1$ (định lí Fermat nhỏ)
$+) a^2-1|a^{p-1} -1$ (do $p-1$ chẵn)
$+) p\not | a(a^2-1) $
Dẫn đến $2p|n-1 $
Do $ a^{2p}=n(a^2 -1)+1 \equiv 1(mod\ n) $
Nên $a^{n-1} \equiv 1 (mod\ n)\ (2)$
-Từ $(1)$ và $(2)$ ta có ĐPCM.

MR 2: Chứng minh nếu $ n=\dfrac{a^{2p}-1}{a^2-1}$,trong đó a nguyên $,a>1,p$ là số nguyên tố lẻ, $a(a^2-1) \not\vdots p$ thì $a^{n+1}-a^2\vdots n$

C/m:

Từ mở rộng 1 ta chứng minh được $a^{n-1} \equiv 1 (mod\ n)\ \Leftrightarrow n\ |\ a^{n-1}-1 \Rightarrow n\ |\ a^{n+1}-a^2$ (do $a^{n-1}-1 | a^{n+1}-a^2$ ) $\square$

MR 3: Chứng minh nếu $ n=\dfrac{a^{2p}-1}{a^2-1}$,trong đó a nguyên $,a>1,p$ là số nguyên tố lẻ, $a(a^2-1) \not\vdots p$ thì $a^{n+k-1}-a^{k} \vdots n$ với $k\in \mathbb{N}$

C/m:

Từ mở rộng 1 ta chứng minh được $a^{n-1} \equiv 1 (mod\ n)\ \Leftrightarrow n\ |\ a^{n-1}-1 \Rightarrow n\ |\ a^{n+k-1}-a^{k}$ (do $a^{n-1}-1 | a^{n+k-1}-a^{k}$ ) $\square$

MR 4: Chứng minh nếu $ n=\dfrac{a^{2p}-1}{a^2-1}$,trong đó a nguyên $,a>1,p$ là số nguyên tố lẻ, $a(a^2-1) \not\vdots p$ thì $k(a^{n-1}-1) \vdots n$ với $k\in \mathbb{N}$

C/m:

Từ mở rộng 1 ta chứng minh được $a^{n-1} \equiv 1 (mod\ n)\ \Leftrightarrow n\ |\ a^{n-1}-1 \Rightarrow n\ |\ k(a^{n-1}-1)$ (do $a^{n-1}-1 | k(a^{n-1}-1)$ ) $\square$

Em hiểu mở rộng là gì không? Nghĩa là khi cho số má cụ thể thì là kết quả bài toán!


#355769 [MO2013] Trận 5 - Số học

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 21-09-2012 - 22:22

Xét bổ đề mở rộng sau: $a,m,n\in\mathbb{Z}^{+}$: $a^n-1\vdots{a^m-1}$ khi và chỉ khi $n\vdots{m}$. Chứng minh vô cùng dễ dàng bằng khai triển và dùng tính chất cơ bản của phép chia là $a=bq+r$.
Ta có: $n=\frac{2^{2p}-1}{3}$ suy ra $n-1=\frac{4(2^{p-1}-1)(2^{p-1}+1)}{3}$. Chú ý rằng $2^{p-1}-1\vdots{3}$. Theo FLT ta có: $2^{p-1}-1\vdots{p}$ (vì $p$ lẻ). Vậy với $p>3$ thì $2^{p-1}-1\vdots{3p}$ do đó $n-1\vdots{2p}$ suy ra: $2^{n-1}-1\vdots{2^{2p}-1}$.Từ giả thiết suy ra $2^{2p}-1\vdots{n}$, nên $2^{n-1}-1\vdots{n}$. Suy ra điều phải chứng minh vì $(4,p)=1$.

D-B=1.6h
E=10
F=0
S=80.4


#355486 Tìm tỉ lệ thể tích

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 20-09-2012 - 16:15

Bài này dùng sơ đồ đường chéo.


#355385 Topic các bài hoá 11

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 19-09-2012 - 21:23

Theo như kiến thức SGK thì là $NaNO_{3}$ và $H_2SO_{4}$


#355382 Topic các bài hoá 11

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 19-09-2012 - 21:16

Problem 7: Trong phòng thí nghiệm người ta thường điều chế $HNO_{3}$ những chất gì?


#355379 Topic các bài hoá 11

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 19-09-2012 - 21:12

Coi hỗn hợp sau khi nung gồm $Fe$ và $O$ (phương pháp quy đổi). Tính ra số mol của $NO$, lập phương trình cho nhận $e$, gọi số mol của $Fe$, $O$ lần lượt là $x$, $y$ lập hệ với điều kiện tổng số mol $e$ cho bằng nhận. Đáp số: $2,52(g)$


#355375 Topic các bài hoá 11

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 19-09-2012 - 21:03

Problem 6: Nung $m$ (g) bột sắt trong oxi thu được $3$(g) hỗn hợp chất rắn $X$. Hoà tan hết hỗn hợp $X$ trong dung dịch $HNO_{3}$ dư, thoát ra $0,56$ lít khí (ở đktc) $NO$ (là sản phẩm khử duy nhất). Giá trị của $m$ là bao nhiêu?


#355373 Topic các bài hoá 11

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 19-09-2012 - 20:59

Nhớ lấy câu thơ: "$3$ đồng $8$ loãng $2$ no ($NO$), $1$ đồng $4$ đặc cho $2$ khí màu ($NO_{2}$)". Đáp số: 10


#355369 Topic các bài hoá 11

Gửi bởi Trần Đức Anh @@ trong 19-09-2012 - 20:54

Problem 5: Tổng hệ số (các số nguyên, tối giản) của tất cả các chất trong phương trình phản ứng giữa $Cu$ với dd $HNO_{3}$ đặc nóng là bao nhiêu?