Trần Đức Anh @@

Bài toán: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thảo mãn: $f(x^2+y+f(y))=2y+(f(x))^2$, $\forall$ $x$,$y\in\mathbb{R}$

Cho bảng ô vuông $5x5$. Gọi $A$ là tập hợp các đỉnh của hình vuông đơn vị trừ các đỉnh của bảng. Hỏi có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu điểm từ $A$ để số các điểm đã được chọn không có ba điểm nào tạo thành một tam giác cân.

Chứng minh đẳng thức sau: $1+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^4}+\frac{4}{3^6}+...=(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^6}+...)^2$

Tam giác $ABC$ có $R$, $r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tòn nội tiếp, với $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$, $s$ kí hiệu là nửa chu vi của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

1) $ab+bc+ca=s^2+4Rr+r^2$

2) $abc=4Rrs$

3) $cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA=\frac{s^2-4R^2+r^2}{4R^2}$

4) $cosAcosBcosC=\frac{s^2-(2R+r)^2}{4R^2}$

To be continue ....

Bài toán: Một bộ bách khoa từ điển gồm $10$ quyển, chứng được sắp trên giá hoặc là vào đúng thứ tự của nó được ghi trên giá sách hoặc là chỗ bên cạnh. Hỏi có bao nhiêu cách sắp đạt như vậy có thể được?