minhhieu070298vn

Tìm max của biểu thức :
$P=\sqrt{4x-x^{3}}+\sqrt{x+x^{3}}$   với $0\leq x\leq 2$

@MOD: chú ý cách đặt tiêu đề

Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác sao cho $\sum a^2=\frac{1}{9}$. CMR:

 $\sum (2a+2b-c)^3\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Cho a,b,c>0.CMR

$\sum (a+1-\frac{1}{b})(b+1-\frac{1}{c})\geq 3$

Cho tam giác ABC .O,I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp .Lấy J đối xứng với I qua O.Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với AI cắt BC tại M.

CMR AJ vuông góc với AM

Cho tam giác ABC vuông cân ở A có AH là đường cao. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu xuống AB và AC.
a. Chứng minh $AH=DE$. ( câu này mình chứng minh rùi).
b. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm HC. Chứng minh DI song song EK.

b. Có các tam giác DBH và EHC vuông cân tại D và E. Có I, K lầ trung điểm của BH, CH nên suy ra DI và EK cùng vuông góc với BC.

Suy ra đpcm!

Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của n.

Cho S(n)=100, S(44n)=800.

Tìm S(3n)

Cho n là số nguyên dương.CMR

            {$n\sqrt{3}$} > $\frac{1}{n\sqrt{3}}$
 

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1.CMR

$\sum \frac{a^2}{\sqrt{a^4+4(b+c)}}\geq 1$

Cho a,b,c,d >0.CMR

$\sum \frac{a-b}{a+2b+3c}\geq 0$

Cho a,b,c,d >0.CMR

$\sum \frac{a}{\sqrt{b^2+(c+a)^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{5}}$

Cho a,b,c,d>0,($\sum a$)($\sum \frac{1}{a}$)=20.CMR

($\sum a^2$)($\sum \frac{1}{a^2}$) $\geq 36$

Cho a,b,c>1,a+b+c+2=abc

CMR bc$\sqrt{a^{2}-1}$ +ca$\sqrt{b^{2}-1}$ +ab$\sqrt{c^{2}-1}$ $\leq$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}abc$

Tự giải luôn mới nghĩ ra:

Từ giả thiết dùng AM-GM suy ra $abc\geq 8$

Chia 2 vế bđt cho abc ta đươc: $\sum \frac{\sqrt{a^2-1}}{a}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$(*)

Theo Bunhia thì: $\left ( \sum \frac{\sqrt{a^2-1}}{a} \right )^2\leq 3\left ( \sum \frac{a^2-1}{a^2} \right )=3\left ( 3-\sum \frac{1}{a^2} \right )$(1)

Từ giả thiết chia 2 vế cho abc có: $\sum \frac{1}{ab}+\frac{2}{abc}=1$. Mà $abc\geq 8$ nên

$\sum \frac{1}{ab}\geq \frac{3}{4}\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2}\geq \frac{3}{4}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra (*) đúng. Chứng minh hoàn tất

Biến đổi phương trình đã cho thành

        $(x+y+1)^{2}+5(x+y+1)+4=-y^{2}\leq 0$

   Giải BPT với ẩn x+y+1 ta được $-4\leq x+y+1\leq -1$

Tìm giá trị lớn nhất của:P=$\sqrt{4x-x^{3}}+\sqrt{x^3+x}$

Có:x²,y²,z² là các số chính phương nên chia 4 dư 0 hoặc 1

mà tổng của chúng là 4 chia hết cho 4 nên dễ dàng CM x,y,z chia hết cho 4

do đó VT chia hêys cho 4⁷.VP=4 không chia hết cho 4⁷

            Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.