caubeyeutoan2302

Các bài toán :



Câu 1: Cho $m,n$ là các số nguyên dương thỏa mãn là : $ \frac{m}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.........-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319} $

Chứng minh rằng $m$ chia hết cho 1979

Câu 2: Tìm $n$ để ta có $n!=2^{15}.3^6.5^{3}.7^{2}.11.13$

Câu 3: Hãy xác định tất cả các bộ nguyên dương (a,b) sao cho $a^2.b+a+b$ chia hết cho $a.b^2+b+7$

Bài toán :

Bạn hãy tìm một dãy dài nhất bao gồm các số nguyên dương phân biệt mà con số đầu tiên là số 1 và số cuối cùng có dạng $ 31^a.5^b.1990^c$ sao cho mỗi số chia hết cho số dứng trước nó . Có bao nhiêu dãy có độ dài này ?

Gợi ý : Mỗi số có trong dãy thỏa mãn đề như thế thì phải có nhiều hơn một thừa số nguyên tố đứng trước nó ., từ đó ta phân tích và tìm kết quả .

Câu 1 : Theo ý tưởng là dùng tỷ lệ thức sau đó áp dụng vào hệ phương trình là ổn .
Câu 2 : Bắt nguồn từ giả thuyết $ a,b,c $ thuộc đoạn $ [-1;2] $ ta nghĩ đến bất đẳng thức $ (a+1).(a-2) \ge 0 $ , suy ra $ a^2-a-2 \ge 0 $ , làm tương tự với b,c sau đó cộng vế theo vế kết hợp với $ a^2+b^2+c^2=6 $ ta có điều phải chứng minh ; bài bất đẳng thức chứa căn thì đơn giản , áp dụng công thức.
Câu 3: Theo anh , câu này dùng đồng dư , hồi đó học làm bài này cũng được lắm
Câu 5: Ý tưởng của nguyenta98 là ổn rồi

Đề này cần kiến thức vững và cẩn thận , tuy vậy vẫn không khó bằng đề thi Năng khiếu năm 2010-2011 tiếp theo

Hì , anh Dark cười tươi nhỉ
Phương anh đâu rồi , tới cậu post hình lên cho mọi người chiêm ngưỡng đi :">

Một trong những vẻ đẹp của toán học phải kể đến đó là dãy số Fibonaccci và các hệ quả cùng với hàng ngàn bài toán rất khó xuất phát từ dãy Fibonacci.

Bài toán :

Cho dãy số $ {u_n},(n=1,2,3,...........)$ được xác định như sau đây:

$ u_1=1,u_2=2,u_{n+1}=3u_n-u_{n-1} $

Dãy số $v_n,(n=1,2,3,..........)$ được xác định nhờ dãy $ u_n$ như sau :

$ v_n=arccotu_1+arccotu_2+arccotu_3+..........................+arccotu_n $

Hãy chứng minh :

$ arccotu_1-arccotu_2-...................-arccotu_{n+1}=arccotF_{2n+2} $

( Trong đó $ F_k $ là số hạng thứ $ k $ của dãy Fibonacci )

Bài 2-Ngày thứ 1:


Bài này tương tự như dạng mình đã từng post lên rồi này . Hướng làm : Đa thức bất khả quy :

Bổ đề : Nếu p là 1 số nguyên tố thì đa thức : $ x^{p-1}+x^{p-2}+........................+x+1$ là một đa thức bất khả quy trên trường $ Q(x) $

Trở lại bài toán và chú ý rằng số 2011 là số nguyên tố ,
Ta có phương trình nghiệm nguyên là : $x^{2010}+x^{2009}+...........................+x+1=y^5-1$
Áp dụng bổ đề ta có VT là một đa thức bất khả quy còn VP lại là một đa thức khả quy do $y^5-1=(y-1)(y^4+y^3+y^2+y+1)$ do thế phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.
P/S : Toàn , em còn cách nào khác không , ở trên đây do anh đã bí mấy pp thường quá nên mới liều làm đa thức bất khả quy chứ nếu không làm bằng số học bình thường cho lành

Đề bài :

Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $

Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $

Bài 1: Hãy tìm nghiệm nguyên của phương trình sau :

$ x^{17}+x^{16}+x^{15}+....................+x=y^5-33$

Bài 2 :Hãy tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

$ (x-1)^2.(x-2)^2.(x-3)^2.(x-4)^2...............(x-n)^2=y^2-3y+1 $ với $n$ là số nguyên dương tùy ý.

Gợi ý : Dùng các tiêu chuẩn và định nghĩa về đa thức bất khả quy như tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng và Peron

Bài này cũng đăng được 2 ngày rồi , thôi để tớ chém nốt , xusint có cách khác hay không nhưng mình nghĩ bài này là hơi khó vơi THCS đấy.

Trước hết xin đưa ra tiêu chuẩn Eistenstein :
Cho $ P(x)=a_n.x^n+ a_{n-1}.x^{n-1}+..............+a_1.x+a_0 $ là một đa thức hệ số nguyên . Giả sử tồn tại số nguyên tố $ p $ sao cho thỏa mãn các diều kiện sau :
1) $a_n $ không chia hết cho $ p $
2) Tất cả hệ số còn lại đều chia hết cho $ p $
3) $ a_0 $ không chia hết cho $p^2$
Khi đó đa thức $ P(x) $ bất khả quy trên trường $ Q(x) $

Trở về bài toán ta có PT nghiệm nguyên là $ x^2+3=y^5-1 $
Nhận thấy vế trái là một đa thức bất khả quy ( Nếu lấy số $ p=3$ )
Còn vế phải là một đa thức khả quy do $ y^5-1=(y-1)(y^4+y^3+y^2+y+1) $
Suy ra phương trình đã cho không có ngiệm nguyên ^^

Proplem:

Giả sử cho rằng $ m $ biểu diễn thành tổng của 3 số nguyên dương :

$m= a_1+b_1+c_1=a_2+b_2+c_2=.....=a_k+b_k+c_k $ với mọi số $ a_i,b_i,c_i (i=1,2,3,...,k) $ đều khác nhau và trong cách biểu diễn này không còn tổng 3 số nào ( khác $a_i,b_i,c_i $ bằng $m$ )

Chứng minh a) $ k(m) < \dfrac{2m}{9} $ b) $ k(m) \ge [ \dfrac{m}{6} ] $

Cách của perfectstrong là đúng rồi đấy , cứ suy nghĩ đơn giản thôi , vì đây là $ n $ điểm phân biệt , lấy 2 điểm bất kì A,B ta sẽ có 2 véc tơ thỏa để bài là $ \vec{AB} , \vec {BA} $ , ta có số cách chọn 2 điểm bất kì là $ C_n^2 $ vậy thì số véctơ cần tìm là $ 2.C_n^2 $

Proplem :

Giả sử rằng đa thức $ P(x) $ có hệ số nguyên , nhận giá trị bằng $2$ ứng với $4$ giá trị $x$ thuộc $\mathbb{Z}$. Chứng minh rằng $P(x)$ không thể nhận các giá trị $1,3,5,7,9$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{Z}$

Bài toán:

Alex và Mary thay nhau viết các chữ số $0$ hay $1$ cho đến khi mỗi người viết được $2001$ chữ số. Mary sẽ là người thắng cuộc nếu cô ấy viết được một số trong biểu diễn nhị phân sao cho số đó không thể viết được dưới dạng tổng $2$ số chính phương. Chứng mình rằng Mary có chiến thuật để bảo đảm thắng cuộc chơi.

Bài toán: Cho bộ số $m,n,p \in R$ . Giải phương trình sau :


$\dfrac{x^3+m^3}{(x+m)^3}+\dfrac{x^3+n^3}{(x+n)^3+\dfrac{x^3+p^3}{(x+p)^3}}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{x-m}{x+m}.\dfrac{x-n}{x+n}.\dfrac{x-p}{x+p}=\dfrac{3}{2}$

Có vẻ là 1 phương trình quá khổ nhỉ

Bài toán :

Ta bắt đầu với một số nguyên dương nào đấy , số này được tác động bởi $2$ toán tử sau đây : Tách chữ số hàng đơn vị của nó rồi đem nhân chữ số này cho $4$, đem tích cộng với phần còn lại của số đã cho ( Ví dụ : $1997$ biến thành : $7*4+199=227$) . Thực hiện lặp đi lặp lại toán tử này . Chứng minh rằng nếu trong dãy các số thu được có chứa số $1001$ thì không có số nào trong các số của dãy là số nguyên tố .