hoclamtoan

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O ; R) sao cho OM = 2R, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là hai tiếp điểm). Từ điểm I bất kì trên cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O ; R) cắt MA, MB lần lượt tại P và Q. Tính diện tích tam giác MPQ theo R.

a) $\Delta API\sim \Delta AIQ(g-g)\Rightarrow AP.AQ=AI^{2}=\frac{AB^{2}}{4}$ không đổi. (1)

b) Goi M là giao của (BPQ) với AB $\Rightarrow BQPM$ nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{APM}=\widehat{ABQ}\Rightarrow \Delta AMP\sim \Delta AQB(g-g)\Rightarrow AP.AQ=AM.AB$ (2)

Từ (1)(2) $\Rightarrow AI^{2}=AM.AB\Rightarrow \frac{AM}{AI}=\frac{AI}{AB}=\frac{1}{2}$

và $\overline{A,M,I}\Rightarrow M$ là trung điểm của AI.

Mà A,B,I cố định $\Rightarrow$ M cố định $\Rightarrow$ đpcm.

Gọi BE là đường cao.

$\widehat{QHE}=\widehat{BHP}$ (đđ) $\Rightarrow \widehat{AQH}+\widehat{QHE}=90^{o}=\widehat{BHI}+\widehat{BHP}\Rightarrow \widehat{AQH}=\widehat{BHI}$ và $\widehat{QAH}=\widehat{HBI}$ (cùng phụ $\widehat{C}$

$\Rightarrow \Delta AQH\sim \Delta BHI(g-g)\Rightarrow \frac{HQ}{HI}=\frac{AH}{BI}=\frac{AH}{CI}$ (do BI=CI) (1)

Cmtt : $\Delta AHP\sim \Delta CIH(g-g)\Rightarrow \frac{HP}{HI}=\frac{AH}{CI}$ (2)

Từ (1)(2) $\Rightarrow \frac{HQ}{HI}=\frac{HP}{HI}\Rightarrow HQ=HP$ và $\overline{P,H,Q}\Rightarrow$ đpcm.

Cho tam giác ABC cân tại A (góc BAC > 90 độ) nội tiếp đường tròn (O;R) M là điểm trên cạnh BC (BM>CM). Gọi D là giao điểm của AM và 

(O) (D khác A).

a. Cm MA.MD = MB.MC

b Gọi E là điểm chính giữa cung lớn BC . ED cắt BC tại N. Cm: BN.CM = BM.CN

c. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD, OM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OAD tại F. cm B, I, E thằng hàng và B, O, C, F cùng thuộc 1 đường tròn.

d xác định vị trí các điểm M để 2AM + AD đạt GTNN

 

Các bạn giúp mình câu b, c, d nhé

 

GRAPH.png

b) Cm : DM, DN là các pg trong và ngoài tại đỉnh D của tam giác BDC $\Rightarrow \frac{MC}{MB}=\frac{NC}{NB}\Rightarrow$ đpcm.

c) Xét (O) : $BE\perp BA$ (1)

Xét (I) : $\widehat{ABM}=\widehat{BDM}=\frac{1}{2}sdBM\Rightarrow BA$ là tiếp tuyến tại B của (I) $\Rightarrow BI\perp BA$ (2)

Từ (1)(2) $\Rightarrow BI\equiv BE\Rightarrow$ đpcm.

* Câu a) MA.MD=MB.MC

$\Delta OMA\sim \Delta DMF\Rightarrow MO.MF=MA.MD$

$\Rightarrow OM.MF=MC.MB\Rightarrow \Delta MOB\sim \Delta MCF\Rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{CFO}\Rightarrow$ đpcm.

d) $2AM+AD=2AD_{max}\Leftrightarrow AD$ là đk của (O) $\Rightarrow$ M là trung điểm của BC.

Gọi N là giao của CD và BA.

$AH//CN\Rightarrow \frac{IH}{DC}=\frac{BI}{BD}=\frac{IA}{DN}$

Vì $IH=IA\Rightarrow DC=DN$

Áp dụng t/c đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông $\Rightarrow DA=DC;MA=MC\Rightarrow \Delta MAD=\Delta MCD(c-c-c)\Rightarrow \widehat{MAD}=\widehat{MCD}=90^{o}\Rightarrow$ đpcm.

c) Theo GT $\Rightarrow AHKO$ là hbh $\Rightarrow AH=KO$ mà AH = 2OM $\Rightarrow KO=2OM$ và $\overline{O,M,K}\Rightarrow$ đpcm.

b) Gọi J là hình chiếu của I lên AB $\Rightarrow BJIM$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{JBI}=\widehat{JMI}$ mà $\widehat{JBI}=\widehat{ACI}$ và $\widehat{IMQ}+\widehat{ACI}=180^{o}\Rightarrow \widehat{IMQ}+\widehat{JMI}=180^{o}\Rightarrow \overline{J,M,Q}$

MQCI nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MQI}=\widehat{BCI}=\widehat{BAI}$ và $\widehat{IMQ}+\widehat{ACI}=180^{o}=\widehat{ABI}+\widehat{ACI}\Rightarrow \widehat{IMQ}+\widehat{ABI}$

$\Rightarrow \Delta QMI\sim \Delta ABI(g-g)$

$\Rightarrow \frac{MI}{BI}=\frac{QM}{AB}=\frac{2PB}{2MN}\Rightarrow \Delta NMI\sim \Delta PBI(c-g-c)$

$\Rightarrow \widehat{MNI}=\widehat{BPI}\Rightarrow PJIN$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{PJI}+\widehat{PNI}=180^{o}$ mà $\widehat{PJI}=90^{o}\Rightarrow$ đpcm.

Cho điểm A ở ngoài (O;R) từ A kẻ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm) và cát tuyến AMN (M nằm giữa A và N) với (O). Kẻ dây BC của (O) vuông góc với OA tại H

a)    Chứng minh AB^{^2} = AM*AN và AC là tiếp tuyến của (O)

b)    Chứng minh OHMN nội tiếp được

c)    Tiếp tuyến tại M và N của (O) cắt nhau tại S chứng minh ba điểm S, B, C thẳng hàng

d)    Kẻ đường kính BE của (O) gọi P là hình chiếu của C trên BE gọi I là giao điểm của AE và PC chứng minh I là trung điểm PC

b) $AM.AN=AB^{2}=AH.AO\Rightarrow \frac{AM}{AO}=\frac{AH}{AN}\Rightarrow \Delta AMH\sim \Delta AON(c-g-c)\Rightarrow \widehat{AHM}=\widehat{ANO}\Rightarrow$ MHON nội tiếp.

c) $OK.OS=OM^{2}=OC^{2}=OH.OA\Rightarrow \frac{OK}{OH}=\frac{OA}{OS}\Rightarrow \Delta OKA\sim \Delta OHS(c-g-c)$

$\Rightarrow \widehat{OHS}=\widehat{OKA}=90^{o}\Rightarrow SH\perp OA$ tại H, mà $BC\perp OA$ tại H $\Rightarrow SH\equiv BC\Rightarrow$ đpcm.

d) O là trung điểm của BE và OA//EQ $\Rightarrow$ A là trung điểm của BQ $\Rightarrow$ AQ = AB.

*$PC//BQ\Rightarrow \frac{IC}{AQ}=\frac{EI}{EA}=\frac{IP}{AB}\Rightarrow IC=IP$ và $\overline{P,I,C}\Rightarrow$ đpcm.

Câu hỏi sửa lại : " Cm : $ \frac{MI}{KI} = \frac{AC}{2AK} $"

QM là ĐTB của $\Delta BFC\Rightarrow QM//AC$.

Gọi H là giao của QM với AB, cm được H là trung điểm của AB $\Rightarrow$ HM là ĐTB của $\Delta ABC\Rightarrow AC=2HM$.

$\Delta MHI\sim \Delta KAI(g-g)\Rightarrow \frac{MI}{KI}=\frac{MH}{AK}=\frac{2MH}{2AK}=\frac{AC}{2AK}$ (đpcm)

K là trung điểm của EC $\Rightarrow OK\perp EC$ tại K. Gọi N là giao của MC và AB.

$\Rightarrow\Delta MHN\sim \Delta MKO(g-g)\Rightarrow MN.MK=MH.MO=MA^{2}\Rightarrow \Delta MNA\sim \Delta MAK(c-g-c)$

$\Rightarrow \widehat{MKA}=\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\Rightarrow MBKA $ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{AMK}=\widehat{ABK}$ mà $\widehat{AMK}=\widehat{IEK}$ (đv)

$\Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{IEK} \Rightarrow BEIK$ nội tiếp (đpcm)

Gọi AM là đường kính của (O) $\Rightarrow \widehat{ACM}=\widehat{ABM}=90^{o}\Rightarrow CM\perp AC;BM\perp AB\Rightarrow CM//BK;BM//CK\Rightarrow BKCM$ là hình bình hành $\Rightarrow$ 2 đường chéo KM, BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà N là trung điểm của BC $\Rightarrow$ N là trung điểm của KM $\Rightarrow$ ON là đường trung bình của $\Delta AKM\Rightarrow$ AK = 2ON (đpcm)

b) $\Delta ABC\sim \Delta ACD\Rightarrow AB.AD=AC^{2}=4R^{2}$ không đổi.

c) $OI.OM=OB^{2}=OC^{2}\Rightarrow \Delta IOC\sim \Delta COM\Rightarrow \widehat{OMC}=\widehat{OCI}=\widehat{ODI}\Rightarrow DKIM$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MKD}=\widehat{DIM}=90^{o}\Rightarrow$ đpcm.

$\Delta IAO$ có các đường cao IE, AH cắt nhau tại K nên K là trực tâm suy ra OK là đường cao $\Rightarrow OK\perp IA(1)$

Mặt khác : OK là đường nối tâm và FA là dây chung của (O) và (K) $\Rightarrow OK\perp FA(2)$

Từ (1)(2) $\Rightarrow IA\equiv FA\Rightarrow$ đpcm.

Câu d :

Gọi N là giao của FI và AB. Vì GE// AB $\Rightarrow \frac{GI}{BN}=\frac{FI}{FN}=\frac{IE}{NA}$, mà GI=IE nên BN=NA.

* $\widehat{MBN}=\widehat{BFM}\Rightarrow \Delta BMN\sim \Delta FBN(g-g)\Rightarrow BN^{2}=NM.NF=NA^{2}\Rightarrow \frac{NM}{NA}=\frac{NA}{NF}\Rightarrow \Delta AMN\sim \Delta FAN(c-g-c)\Rightarrow \widehat{NAM}=\widehat{MFE}$

Mà : $\widehat{MFE}=\widehat{MDE}=\widehat{NAD}\Rightarrow \widehat{NAM}=\widehat{NAD}\Rightarrow AM\equiv AD\Rightarrow$ đpcm.

Câu c :

$\Delta KCF\sim \Delta AEB\Rightarrow \frac{CF}{BE}=\frac{KC}{AE}$;

$\Delta BCE\sim \Delta MKE\Rightarrow \frac{CB}{MK}=\frac{BE}{ME}\Rightarrow \frac{CB}{BE}=\frac{MK}{ME}$;

$\Delta MKC\sim \Delta MEA\Rightarrow \frac{MK}{ME}=\frac{KC}{AE}\Rightarrow$ đpcm.

c) Gọi P là giao của AK và EF.

* Cm : $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}=\widehat{AKC}\Rightarrow PECK$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{APE}=\widehat{ACK}=90^{o}\Rightarrow \Delta AEH\sim \Delta ADC;\Delta APE\sim \Delta ACK\Rightarrow AH.AD=AE.AC=AP.AK$

$ \Rightarrow \Delta APH\sim \Delta AKD \Rightarrow DHPK$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HKP}=\widehat{MDP}$ (1)

* Cm : DMPN nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MDP}=\widehat{MNP}$ (2)

(1)(2) $\Rightarrow \widehat{HKP}=\widehat{MNP}$ và ở vị trí ĐV $\Rightarrow$ HK // MN