hungchu

Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix} x+xy+y=5 & \\ x^{3}+x^{3}y^{3}+y^{3}=17& \end{matrix}\right.$

Biến đổi phương trình số (2):
$x^{3}+x^{3}y^{3}+y^{3}=x^3+y^3+(xy)^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)+(xy)^3=(x+y)[(x+y)^2-3xy]+(xy)^3$
Đặt $S=x+y ; P=xy$ ta được hệ:
$\left\{\begin{matrix} S+P=5 & \\ S(S^2-3P)+P^3=17& \end{matrix}\right.$
Biến đổi $S(S^2-3P)+P^3=S^3+P^3-3PS=(S+P)(S^2-PS+P^2)-3PS=(S+P)[(S+P)^2-3PS]-3PS$
Kết hợp $S+P=5$ ta được $5(25-3PS)-3PS=17=>PS=6$
Từ đây bạn có
$\left\{\begin{matrix} S+P=5 & \\ PS=6& \end{matrix}\right.$
$==> P,S ==> x,y$

Bài toán. Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}3x} {\cos ^2}6xdx$

Có: $cos^23x.cos^26x=\frac{1}{4}(1+cos6x)(1 + cos12x)=\frac{1}{4}(1 + cos6x+cos12x+cos6x.cos12x)$
$=\frac{1}{4}(1+cos6x+cos12x)+\frac{1}{8}(cos6x+cos18x)$
$=>I=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}[\frac{1}{4}(1+cos6x+cos12x)+\frac{1}{8}(cos3x+cos9x)]dx=...$

$\int \frac{dx}{x^{3}-x^{2}}$

$I=\int \frac{dx}{x^{3}-x^{2}}=\int(-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x-1})dx=...$

Tính tích phân $\int_{0}^{1}(x^{2}+4x+2)ln(x+1)dx$

Dùng tích phân từng phần. Đặt
$u=ln(x+1) =>du=\frac{dx}{x+1}$
$dv=(x^{2}+4x+2)dx=>v=\frac{1}{3}x^3+2x^2+2x$
$=> I=(\frac{1}{3}x^3+2x^2+2x)ln(x+1)|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{\frac{1}{3}x^3+2x^2+2x}{x+1}dx$
Con tích phân còn lại bạn chia đa thức cho đa thức là tính được

Bài toán. Tính tích phân: $I = \int\limits_0^1 {\frac{{1 + x}}{{1 + \sqrt x }}dx} $

Trích Đề thi thử ĐH 2012 lần VII - Chuyên Thái Nguyên

Làm thử xem sao
Đặt $t=\sqrt x => x=t^2; dx=2tdt; x=0=>t=0; x=1=>t=1$
=>$I=2\int\limits_0^1\frac{(t^3+t)dt}{1+t}=2\int\limits_0^1(t^2-t+\frac{2t}{1+t})dt=...$