hungchu

Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix} x+xy+y=5 & \\ x^{3}+x^{3}y^{3}+y^{3}=17& \end{matrix}\right.$

Biến đổi phương trình số (2):
$x^{3}+x^{3}y^{3}+y^{3}=x^3+y^3+(xy)^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)+(xy)^3=(x+y)[(x+y)^2-3xy]+(xy)^3$
Đặt $S=x+y ; P=xy$ ta được hệ:
$\left\{\begin{matrix} S+P=5 & \\ S(S^2-3P)+P^3=17& \end{matrix}\right.$
Biến đổi $S(S^2-3P)+P^3=S^3+P^3-3PS=(S+P)(S^2-PS+P^2)-3PS=(S+P)[(S+P)^2-3PS]-3PS$
Kết hợp $S+P=5$ ta được $5(25-3PS)-3PS=17=>PS=6$
Từ đây bạn có
$\left\{\begin{matrix} S+P=5 & \\ PS=6& \end{matrix}\right.$
$==> P,S ==> x,y$

Tính tích phân $\int_{0}^{1}(x^{2}+4x+2)ln(x+1)dx$

Dùng tích phân từng phần. Đặt
$u=ln(x+1) =>du=\frac{dx}{x+1}$
$dv=(x^{2}+4x+2)dx=>v=\frac{1}{3}x^3+2x^2+2x$
$=> I=(\frac{1}{3}x^3+2x^2+2x)ln(x+1)|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{\frac{1}{3}x^3+2x^2+2x}{x+1}dx$
Con tích phân còn lại bạn chia đa thức cho đa thức là tính được

Bài toán. Tính tích phân: $I = \int\limits_0^1 {\frac{{1 + x}}{{1 + \sqrt x }}dx} $

Trích Đề thi thử ĐH 2012 lần VII - Chuyên Thái Nguyên

Làm thử xem sao
Đặt $t=\sqrt x => x=t^2; dx=2tdt; x=0=>t=0; x=1=>t=1$
=>$I=2\int\limits_0^1\frac{(t^3+t)dt}{1+t}=2\int\limits_0^1(t^2-t+\frac{2t}{1+t})dt=...$

+ Đặt $t = arctgx \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{{{x^2} + 1}};\,\,x = tgt$

+ Đổi cận: $x:\frac{1}{2} \to 2 \Rightarrow t:arctg\left( {\frac{1}{2}} \right) \to arctg\left( 2 \right)$

+ Suy ra: \[\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{arctgx}}{x}} dx = \int\limits_{arctg\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{arctg\left( 2 \right)} {\frac{{\left( {t{g^2}t + 1} \right)}}{{tgt}}} dt = \int\limits_{arctg\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{arctg\left( 2 \right)} {\left( {tgt + cogt} \right)dt} \]
\[ = \left. {\left( { - \ln \left| {\cos t} \right| + \ln \left| {\sin t} \right|} \right)} \right|_{arctg\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{arctg\left( 2 \right)} = \left. {\ln \left| {\frac{{\sin t}}{{\cos t}}} \right|} \right|_{arctg\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{arctg\left( 2 \right)}\]
\[ = \left. {\ln \left| {tgt} \right|} \right|_{arctg\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{arctg\left( 2 \right)} = \ln 2 - \ln \frac{1}{2} = 2\ln 2\]
Từ đó dễ suy ra được kết quả.

Chỗ này phải còn $t$ ở trên tử nữa hay sao chứ nhờ..
$\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{arctgx}}{x}} dx = \int\limits_{arctg(\frac{1}{2})}^{arctg(2)} \frac{t(tg^2t + 1)}{tgt}dt$

$$\int_{\frac{-\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{sinxdx}{\sqrt{1+x^2}-x}$$

$$\int_{\frac{-\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{sinxdx}{\sqrt{1+x^2}-x}$$

$I=\int\limits_{\frac{-\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{sinxdx}{\sqrt{1+x^2}-x}$
$ = \int\limits_{\frac{-\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}(\sqrt{1+x^2}+x)sinxdx$
$ = \int\limits_{\frac{-\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+x^2}sinxdx+ \int\limits_{\frac{-\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}xsinxdx = I_{1}+I_{2}$
Có $I_{1}=\int\limits_{\frac{-\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+x^2}sinxdx$
Đặt $x=-t => dx=-dt=>I_{1}=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{-\pi }{4}}\sqrt{1+t^2}sin(-t).(-dt)$
$ = -\int\limits_{\frac{-\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+t^2}sintdt=-\int\limits_{\frac{-\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+x^2}sinxdx=-I_{1}$
$=> I_{1}=0$
Còn $I_{2}$ tính được...

$$\int_{ln2}^{ln3}\frac{e^{2x}dx}{e^x-1+\sqrt{e^x-2}}$$

$I = \int_{ln2}^{ln3}\frac{e^x.e^xdx}{e^x-1+\sqrt{e^x-2}}$
Đặt $t=\sqrt{e^x-2}=>e^xdx=2tdt; e^x=t^2+2$
$x=ln2=>t=0; x= ln3=>t=1$
$==> I=\int_{0}^{1}\frac{(t^2+2).2tdt}{t^2+t+2}$
$=2\int_{0}^{1}\frac{t^3+2t}{t^2+t+2}dt$
$=2\int_{0}^{1}(t-1-\frac{t+2}{t^2+t+2})dt= ...$

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(sin^4x+cos^4x)(sin^6x+cos^6x)dx$

$sin^4x+cos^4x=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos4x$
$sin^6x+cos^6x=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x$
$=>I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos4x)(\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x)dx$
$=...$

Đặt $t=1 + lnx => x=e^{t-1}; dt=\frac{dx}{x}=>dx=xdt=e^{t-1}dt$
Đổi cận $x=e=>t=2; x=e^2 => t=3$
Vậy $=> I=\frac{1}{e}\int\limits_{2}^{3}e^tcostdt=...$
Bạn tính tiếp

HD: Dùng tptp
Đặt $x=\sqrt{1+x^2} => du=\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$
$dv=\dfrac{dx}{x^2}=> v=\dfrac{-1}{x}$
$=>A=\dfrac{-\sqrt{1+x^2}}{x}|_{1}^{\sqrt{3}} + \int\limits_{1}^{\sqrt{3}}\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$
Đặt $x=tant$ tính con tích phân còn lại là ra

Tìm x nguyên để $ x^3+x^2+x+1 $ là số chính phương.

Không biết có đúng không, nếu sai thì mọi người chỉ giáo nhé
Đặt $p^2=x^3+x^2+x+1=(x^2+1)(x+1)
=>(x^2+1)=(x+1)=> x=0; x=1$

$\int_{1}^{\sqrt[6]{3}}\dfrac{\sqrt{1+x^6}}{x}dx$

$I=\int\limits_{1}^{\sqrt[6]{3}}\dfrac{\sqrt{1+x^6}}{x}dx=\int\limits_{1}^{\sqrt[6]{3}}\dfrac{\sqrt{1+x^6}-1+1}{x}dx=\int\limits_{1}^{\sqrt[6]{3}}\dfrac{\sqrt{1+x^6}-1}{x}dx +\int\limits_{1}^{\sqrt[6]{3}}\dfrac{1}{x}dx$
Tính $I_{1}=\int\limits_{1}^{\sqrt[6]{3}}\dfrac{\sqrt{1+x^6}-1}{x}dx=\int\limits_{1}^{\sqrt[6]{3}}\dfrac{x^5}{\sqrt{1+x^6}+1}dx$
Đặt $t=\sqrt{1+x^6}=>t^2=1+x^6=>tdt=3x^5dx=>x^5dx=\dfrac{tdt}{3}. x=1=>t=\sqrt{2} ; x=\sqrt[6]{3}=>t=2$
$I_{1}=\int\limits_{\sqrt{2}}^{2}\dfrac{dt}{3(t+1)}$
Bạn tính tiếp cả $I_{2}$ nữa

Câu 5: Giải phương trình: $\sqrt {x - 2 + 2\sqrt {x - 3} }  + \sqrt {x + 6 + 6\sqrt {x - 3} }  = 3$
Câu 6: Cho n là số nguyên tố không chia hết cho 2; Cm: $(n^4 - 1) \vdots 8$(n4−1)⋮8

Câu 5: ĐK: $x \geq 3$. PT tương đương
$\sqrt {x - 3+2\sqrt {x - 3}+1}+ \sqrt {x - 3 + 2.3\sqrt {x - 3}+9} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {x - 3}+1 + \sqrt {x - 3} + 3=3$
$\Leftrightarrow 2\sqrt {x - 3} +1= 0 $ Vô nghiệm
Câu 6:
Có: $n^4 - 1 = (n-1)(n+1)(n^2+1)=(n-1)(n+1)[(n+1)^2 -2n]$
Vì n là số nguyên tố không chia hết cho 2 nên $(n-1)(n+1) \vdots 4; [(n+1)^2 -2n] \vdots 2$
$\Rightarrow (n^4 - 1) \vdots 8$ đpcm

Câu 2:

b Giải hệ phương trình:
$(x + y)(x + y + z) = 1125$
$(y + z)(x + y + z) = 1575$
$(z + x)(x + y + z) = 1350$

Cộng lại ta được:
$2(x+y+z)^2=4050 \Rightarrow (x+y+z)^2=2025=45^2$
Với $x+y+z=45$ thế vào 3 pt ta được:
$x=10;y=15;z=20$
Với $x+y+z=-45$ thế vào 3 pt ta được:
$x=-10;y=-15;z=-20$

Câu 1 (2điểm) : Rút gọn các biểu thức sau:

$b,\dfrac{{2 \sqrt {3 + \sqrt {5 - \sqrt {13 + \sqrt {48} } } } }}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}$

$\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}=\sqrt{5-\sqrt{12+2\sqrt{12}+1}}$
$=\sqrt{5-\sqrt{12}-1}= \sqrt{3 -2\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$
Vậy: $B=\dfrac{2\sqrt{3+\sqrt{3}-1}}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}+1}=1$

1, Cho $T = {a_1} + {a_2} + {a_3} + .... + {a_n}$
biết :${a_n} = \dfrac{1}{{\sqrt n (n + 1) + n\sqrt {n + 1} }}$
a,Tính $a_{20}$
b,TÍnh ${T_{20}} $

2,Cho:
$A = \dfrac{1}{{\sqrt x + \sqrt {x + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} }} + ....+$
$+ \dfrac{1}{{\sqrt {x + 2007} + \sqrt {x + 2008} }}$
TÍnh A khi x=2009.
3. Tìm số dư R khi chia ${1776^{2003}}$ cho 4000
4. Cho ${U_n} = \dfrac{{{{(13 + \sqrt 3 )}^n} - {{(13 - \sqrt 3 )}^n}}}{{2\sqrt 3 }}$
a,Tính ${U_1};{U_2};{U_3}$
b, Lập công thức tính ${U_{n + 1}}$ theo ${U_n}$ và ${U_{n - 1}}$
c,TÍnh ${U_{25}}$
4, Cho biết tỉ số 3x-7 và y-8 là 1 hằng số. Vậy nếu y=21 khi x=3 thì khi x=2011 thì y= ?

Bài 1
a. Ta có:${a_n} =\dfrac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}=\dfrac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$
Vậy ${a_{20}}=\dfrac{1}{\sqrt{20}}-\dfrac{1}{\sqrt{21}}$
b. ${T_{20}}={a_1}+{a_2}+...+{a_{20}}$
$=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} - \dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{20}}-\dfrac{1}{\sqrt{21}}$
$=1-\dfrac{1}{\sqrt{21}}$