cool hunter

 

3.

 

ta dễ dàng viết được phương trình AB: $7x-y+33=0$

vì $A\epsilon (AB)\Rightarrow A(t;7t+33)\Rightarrow B(-t-9;-7t-30)$

ta có: $\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{HB}=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=-4& \\ t=-5& \end{bmatrix}$

• $t=-4$$\Rightarrow A(-4;5),B(-5;-2)\Rightarrow pt(AC):x+2y-6=0\Rightarrow C(6-2c;c)$.    Mặt khác ta lại có: $IA=IC\Rightarrow (7-2c)^2+(c-1)^2=25\Rightarrow C(4;1)$
• $t=-5$, tương tự như trường hợp trên ta tìm được: $C(-1;6)$

 

pt AB viết thế nào

+) Góc tạo bởi SA và mp(ABC) bằng $30^{\circ}$ suy ra $\widehat{SAH}=30^{\circ}$.

Ta có: $SH=SA.sin\widehat{SAH}=asin30^{\circ}=\frac{a}{2}$.

$AH=SA.cos\widehat{SAH}=acos30^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

=> H là trung điểm BC

=> $AH\perp BC$

=> $BC\perp (SAH)$

Kẻ $HI\perp SA$

=> $HI\perp BC$

=> $ d(SA,BC) = HI = AH.sin\widehat{SAH} =\frac{a\sqrt{3}}{2}.sin30^{\circ} =\frac{a\sqrt{3}}{4}$

+) $V_{SMHC}=\frac{CH}{CB}.V_{MSCB}=\frac{1}{2}.\frac{SM}{SA}.V_{SABC}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\frac{1}{9}.\frac{a}{2}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{72}$

1) Định a,b sao cho f(x)=x^4+2x³+3x²+ax+b là bình phương của 1 đa thức
2) Cho f(x) là đa thức bậc 3 biết f(x) chia hết cho (x-2) và có cùng số dư là trừ 4 trong phép chia lần lượt cho (x+1);(x+2);(x-1) . Tìm f(x)
3) Định a,b sao cho f(x)=6x^4-7x³+ax²+3x+2 chia hết cho g(x)=x²-x+b

1) Giả sử: $f(x)=x^4+2x^{3}+3x^{2}+ax+b=(x^{2}+cx+d)^{2}$

Nên: $f(x)=x^4+2x^{3}+3x^{2}+ax+b=x^{4}+2cx^{3}+(c^{2}+2d)x^{2}+2cdx+d^{2}$.

Đồng nhất hệ số:

$\left\{\begin{matrix}2c=2\\ c^{2}+2d=3\\ 2cd=a\\d^{2}=b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=1\\ d=1\\ a=2\\ b=1\end{matrix}\right.$

Câu 1: Giả sử $a_{i} <a$ với mọi i=1,...,n. Suy ra $\sum_{i=1}^{n}a_{i}$, vô lý, suy ra đpcm.

Câu 2:

a) Đặt $a= \sqrt{2} + \sqrt{7}$.

Giả sư a hữu tỉ.

Đặt $a = \frac{m}{n}$, với $m,n \in \mathbb{Z}$, $(m,n)=1$.

Có: $a^{2}=9+2\sqrt{14}=\frac{m^{2}}{n^{2}} \Leftrightarrow \sqrt{14}=(\frac{m^{2}}{n^{2}}-9):2$ là số hữu tỉ, vô lý.

Vậy có đpcm.

b) Đặt $b=\sqrt[3]{2}$.

Giả sử b là số hữu tỉ

Đặt $b=\frac{m}{n}\ \ (m,n \in \mathbb{Z}, \ \(m,n)=1))$.

Có: $b^{3}=2=\frac{m^3}{n^3} \Leftrightarrow m^{3}=2n^{3}$.

Vì $(m,n)=1$ nên suy ra $ 2|m$. ĐẶt $m=2k\ \ (k \in \mathbb{Z})$, với $(k,n)=1$ thì ta có:

$8k^{3}=2n^{3}\Leftrightarrow 4k^{3}=n^{3}$.

Vì $(k,n)=1$ nên suy ra $ 2|n$. Suy ra 2=Ư(m,n), vô lý.

Vậy có đpcm

Cho $0<a,b,c\leq 2$. CMR: $\frac{abc}{a+b+c}\leq \frac{4}{3}$.

ESTONIA 2003

Cho m,n nguyên dương, $n+2\vdots m$. Tìm số bộ (x;y;z) nguyên dương thỏa mãn: $x+y+z\vdots m$, và x,y,z không lớn hơn m.

Tìm tất cả các hàm số f,g: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $g(f(x)-y)=f(g(y))+x\ \forall x,y\in \mathbb{R}$

Poland Second Round 2012

Giải phương trình: $x=\sqrt{3-x}.\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}.\sqrt{3-x}$

Cho $\sum_{i=1}^{1990}\left | x_{i}-x_{i+1} \right |=1991$, đặt $s_{n}=\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}$. Tìm min, max ( nếu có) của $\sum_{i=1}^{1990}\left | s_{i}-s_{i+1} \right |$ 

Mỗi con kiến có tổng cộng $C_{12}^{5}$ cách đi

Vậy số cách đi của 2 con kiến là: $\left ( C_{12}^{5} \right )^{2}$

Nhận xét: 2 con kiến chỉ có thể gặp nhau trên các điểm có toạ độ: $\left ( 0,6 \right )$, $\left ( 1,5 \right )$, $\left ( 2,4 \right )$, $\left ( 3,3 \right )$, $\left ( 4,2 \right )$, $\left ( 5,1 \right )$.

Xét trường hợp 2 con kiến gặp nhau ở vị trí $\left ( 0,6 \right )$:

Có $C_{6}^{0}C_{6}^{1}$ cách đi cho mỗi con kiến

Vậy trong TH này có $\left ( C_{6}^{0}C_{6}^{1} \right )^{2}$ cách đi

Làm tương tự như trên ta suy ra xác xuất 2 con kiến gặp nhau là: $\frac{2\left ( C_{6}^{0}C_{6}^{1} \right )^2+2\left ( C_{6}^{1}C_{6}^{2} \right )^2+2\left ( C_{6}^{2}C_{6}^{3} \right )^{2}}{\left ( C_{7}^{5} \right )^2}=\frac{1363}{4356}$

Mỗi con kiến đi trong 6 bước nên mỗi con có $2^{6}$ cách đi chứ nhỉ.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy có 2 con kiến A và B; Con A ở (0;0) chỉ đi sang phải hoặc lên trên, con B ở (5;7) chỉ đi sang trái hoặc xuống dưới. Hai con kiến di chuyển đồng thời, với vận tốc như nhau, và chỉ được phép chuyển hướng di chuyển ở các điểm có tạo độ nguyên. Tính xác suất để 2 con kiến gặp nhau.

Tìm tất cả các hàm f: R à R thỏa mãn: $f(|x|+y+f(y+f(y)))=3y +|f(x)|$ với mọi x, y thuộc R.

Tồn tại bao nhiêu tam giác thỏa mãn điều kiện: $\frac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}=\frac{12}{7}\wedge sinA.sinB.sinC=\frac{12}{25}$

Chia P(x)=$_{x}81$ + a$_{x}57$ + b$_{x}41$ + c$_{x}19$ + 2x + 1 cho x-1 được số dư là 5. Chia P(x) cho x-2 được số dư là -4. Hãy tìm cặp (M,N) biết rằng Q(x)=$_{x}81$ + a$_{x}57$ + b$_{x}41$ + c$_{x}19$ + Mx + N chia hết cho (x-1)(x-2).  

Theo định lý Bơ-zu thì: P(1)=5; P(2)=-4.

có: Q(x)= P(x) +(M-2)x +(N-1) = (x-1)(x-2)A(x) ( A(x) là đa thức tùy ý).

Q(1)= 0 = P(1) + M-2 + N-1 = M +N +2

Q(2) = 0 = P(2) + (M-2).2 + N-1 = 2M +N -9

=> M =11; N=-13 

Giả sử n là một số tự nhiên không nhỏ hơn 3. Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi cặp điểm thuộc P được nối với nhau bởi một đoạn thẳng và tô màu trắng hoặc đỏ. Tìm số nhỏ nhất các đoạn thẳng đỏ sao cho bất cứ tam giác nào với 3 đỉnh thuộc P cũng có ít nhất một cạnh đỏ.