cool hunter

Cho tập S= {1,2,...,999}. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho mọi tập con  A của S gồm n phần tử luôn tồn tại 4 phần tử  a, b, c, d thuộc A sao cho: a+2b+3c=d.

 

 

Cái dạng bài này có trong nâng cao và phát triển toán 9 mà.

Đặt $x_{1}=2+\sqrt{3};x_{2}=2-\sqrt{3}$.

suy ra $x_{1};x_{2}$ là ngiệm pt: $X^{2} -4X +1=0$

$s_{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n}$ => $s_{n+2}=4s_{n}-s_{n}$.

Vì $s_{1} chẵn$ => $s_{n}$ chẵn.

=> $x_{1}^{n}+x_{2}^{n}=2k$, k nguyên.

 $0<x_{2}<1$ => $2k -1 < x_{1}< 2k$ => dpcm

Câu 5a, trâu bò là ra:

gt => $a\equiv 1 ( mod 21); b\equiv 8 (mod 21)$

=> $a+b\equiv 9 (mod 21)$

Dùng quy nạp chứng minh được: 

$4^{a}=4^{21m+1}\equiv 4 ( mod 21)$ ( m thuộc N);

$9^{b}=9^{21n+8}\equiv 18\equiv -3 ( mod 21)$ ( n thuộc N)

Do đó $A \equiv 9 + 4 -3 \equiv 10 ( mod 21)$

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R); AO cắt đường tròn ngoại tiếp (BOC) ở A’, BO cắt (COA) tại B’ và CO cắt (AOB) tại C’. CMR: $OA'.OB'.OC'\geq 8R^{3}$. 

Dấu “=” xảy ra khi nào

 

 

 

BĐT số 36:

Cho $m>0$, $n>0$. CMR:

$\frac{4}{m+n}\geq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}$

 C/m:

Bình phương 2 vế dương: $bdt \Leftrightarrow \frac{16}{(m+n)^{2}}\geq \frac{8}{m^{2}+n^{2}} \Leftrightarrow 2(m^{2}+n^{2})\geq (m+n)^{2}$, đúng theo Cauchy-Schwart

Cho tập hợp $S={0,1,2,...,1994}$. Giả sử a và b là hai phần tử dương nguyên tố cùng nhau thuộc S. CMR: các phần tử của S được sắp xếp lại thành dãy $u_{1},u_{2},...,u_{1995}$ sao cho với mọi $i=1,2,...,1994$ thì: $u_{i+1}-u_{i}\equiv \pm a(mod1995)\vee u_{i+1}-u_{i}\equiv \pm b(mod1995)$.

 

 

 

Dãy hữu hạn ${u_{k}}$, $k=1,2,...,n$ $(n>5)$ có các tính chất:

1) $\forall k=\overline{1,n}$ thì $u_{k}$ chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1.

2) Nếu lấy ra 2 dãy con khác nhau về vị trí, mỗi dãy gồm 5 số hạng liên tiếp của dãy, thì hai dãy con này phải khác nhau ( 2 dãy con này có thể giao nhau).

3) Nếu thêm vào bên phải của dãy một số hạng nữa là $u_{n+1}$, ở đây $u_{n+1}$ cũng chỉ nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1 thì tính chất 2) không đúng nữa.

CMR: $u_{1}=u_{n-3},u_{2}=u_{n-2},u_{3}=u_{n-1},u_{4}=u_{n}$

 

Cho a,b,c là ba số nguyên dương cho trước. Dãy ${u_{n}}$ được xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix} u_{0}=c\\ u_{n}=au_{n-1}+b \forall n=1,2,... \end{matrix}\right.$.

CMR: trong dãy có vô hạn hợp số

bài này rất khó chỉ nhưng người xinh gái mới làm được do đây là BĐT hoán vị nên giả  sử $c\doteq max\left \{ a,b,c \right \}$ đặt $f(a,b,c)=a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c^{2}a^{3}$ xét hiệu$f(a,b,c)-f(0,a+b,c)$ vì c max dễ thấy $f(a,b,c)-f(0,a+b,c)\leq 0$ nên $f(a,b,c)\leq f(0,a+b,c)\doteq (a+b)^{2}c^{3}+c^{2}(a+b)^{3}=(1-c)^{2}c^{3}+c^{2}(1-c)^{3}=c^{2}(1-c)^{2}(c+1-c)\doteq (c(1-c))^{2}$ mình không biết tìm GTLN của $c(1-c)$ huhu

Chào bạn xinh gái, thực sự là đưa ra bài này thì tớ muốn mọi người sử dụng các phương pháp cổ điển như AM-GM, Cauchy-Schwart, hay sắp thứ tứ biến, thậm chí biến đổi tương đương..., CÁch của bạn có vẻ "hiện đại" quá đối với tớ, thực sự là tớ không biết dồn biến là gì

p/s1: tớ rất mong làm quen với những bạn xinh gái, học giỏi, nếu có thể bạn có thể cho xin yahoo. hay facebook k, để t hỏi chút về dồn biến, hay có tài liệu dồn biến thì share cho t với.

p/s2: Mọi người tiếp tục đóng góp lời giải khác để t mở rộng tầm mắt nhé

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác có diện tích S. CMR:

$2(ab+bc+ca)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq \frac{2a^{2}(b+c-a)}{b+c}+\frac{2b^{2}(c+a-b)}{c+a}+\frac{2c^{2}(a+b-c)}{a+b}\geq 4\sqrt{3}S$

 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. CMR:

 $\sqrt[3]{a+bc}+\sqrt[3]{b+ca}+\sqrt[3]{c+ab}\geq \sqrt[3]{2}(ab+bc+ca)$

Bạn nhầm giả thiết rồi. Giả thiết (ii) phải là $\left| {A_i \cup A_j } \right| = 2k - 1$.
Lời giải:
\[
\left| {A_i \cap A_j } \right| = \left| {A_i \cup A_j } \right| - \left| {A_i } \right| - \left| {A_j } \right| = 1,\forall i \ne j\quad (1)
\]
Xét $A_1$. Do $(1) \Rightarrow |A_1 \cap A_j|=1\,\forall j=\overline{2,n}$.
Vì $|A_1|=k$ nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại 1 phần tử $a \in A_1$ là phần tử chung của $A_1$ và ít nhất $m$ tập $A_{i_1};A_{i_2}:...;A_{i_m}$ với $m$ thỏa:
$$m \ge \dfrac{n-1}{k}>k-1 \,\text{(do giả thiết)} \quad (*)$$

hình như chỗ màu đỏ là: $\left | A_{i}\cap A_{j} \right |=\left | A_{i} \right |+\left | A_{j} \right |-\left | A_{i} \cup A_{j} \right |$ chứ anh

cái phần thông tin liên lạc of mỗi thành viên hay là cho thêm facebook nhỉ, mọi ngưòi chủ yếu dùng yahoo, facebook mà

Bài 2:
Cho $\bigtriangleup ABC$ có góc $<120^{o}$ tìm điểm $M$ sao cho tổng $P=MA+MB+MC$ bé nhất.

Điểm M là điểm Toricelli ( bạn có thể nên gg tìm hiểu thêm thông tin về điểm này).
C/m: Xét phép quay G(A;60độ)
$M \mapsto T; C \mapsto P \Rightarrow MC=TP.$
Có $MA +MB +MC = MT + MB + TP \geq BP=const$.
Dấu = khi $\angle AMB=\angle AMC=\angle BMC=120^{\circ}$

Tìm $lim(x_{n})$ như thế nào ạ?