PRONOOBCHICKENHANDSOME

$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k}{n}} = \int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \ln 2 $

$U_n^2 = U_{n+1} +2 =\frac{U_{n+1}^2-4}{U_{n+1}-2}=\frac{U_{n+1}^2-4}{U_n^2-4}$

$\Rightarrow \prod_{i=1}^n U_i^2 = \frac{U_{n+1}^2-4}{U_1^2-4} = \frac{U_{n+1}^2-4}{21}$

$\Rightarrow \frac{U_{n+1}^2}{\prod_{i=1}^n U_i^2} = 21 \frac{U_{n+1}^2}{U_{n+1}^2-4}$ 

Dễ dàng chứng minh $\lim U_n = +\infty$

Từ đó suy ra đc giới hạn cần tìm .

Cho mình hỏi là ở hai dòng cuối từ Đ/l Stolz rồi bạn lại có    $\lim_{x  \rightarrow 0}{u_{n}}$

$\frac{x_n}{y_n}= u_n$ ? 

Đặt $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2^k}{k} ; y_n = \frac{2^{n+1}}{n+1}$ 

Dễ thấy : $\lim x_n = \lim y_n = +\infty$

Ta có : $\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \frac{n+2}{n}$ 

Theo Stolz : $\lim \frac{x_n}{y_n} = \lim \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \lim \frac{n+2}{n} = 1$ 

Hay $ \lim u_n = 1 $ 

Điều phải chứng minh 

$S_1 = a_1 = \alpha $ 

$S_{n+1} - S_n = (S_n -2)^2$ 

$\Rightarrow S_{n+1} = S_n^2-3S_n +4$ 

Giả sử $S_2 > 2 $ 

Suy ra $S_3 > S_2 > 2 $

Dễ thấy $S_n$ tăng ngặt khi đó .

Giả sử bị $S_n$ bị chặn trên .

Suy ra tồn tại $\lim S_n = S $

Tính đc $S=2$ dẫn tới vô lý .

Suy ra $S_2 \leq 2 $

Khi và chỉ khi $\alpha ^2 - 3 \alpha +2 \leq 0 $

Khi và chỉ khi $1 \leq \alpha \leq 2 $ (*)

Ta chứng minh (*) là điều kiện cần và đủ đề $S_n$ hội tụ .

Thật vậy khi đó dễ dàng chứng minh đc $1 < S_n \leq 2 $ với mọi $n \geq 2$ .

Mặt khác $S_{n+1} \geq S_n $

Vậy $S_n$ tăng và bị chặn trên bởi 2 nên tồn tại giới hạn . 

Điều phải chứng minh