Đến nội dung


PRONOOBCHICKENHANDSOME

Đăng ký: 21-06-2011
Offline Đăng nhập: 05-05-2016 - 17:42
***--

#452607 $x^2 - [x]x=84,25$

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 23-09-2013 - 19:52

Trong khoảng $[0;100]$ , có bao nhiêu giá trị của x thoả mãn : 

$x^2-[x]x=84,25$




#442864 Tính $ \lim_{x\rightarrow +\propto } \frac...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 14-08-2013 - 20:43

$U_n^2 = U_{n+1} +2 =\frac{U_{n+1}^2-4}{U_{n+1}-2}=\frac{U_{n+1}^2-4}{U_n^2-4}$

$\Rightarrow \prod_{i=1}^n U_i^2 = \frac{U_{n+1}^2-4}{U_1^2-4} = \frac{U_{n+1}^2-4}{21}$

$\Rightarrow \frac{U_{n+1}^2}{\prod_{i=1}^n U_i^2} = 21 \frac{U_{n+1}^2}{U_{n+1}^2-4}$ 

Dễ dàng chứng minh $\lim U_n = +\infty$

Từ đó suy ra đc giới hạn cần tìm .




#441397 $u_{n}= \frac{n+1}{2^{n+1}}...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 08-08-2013 - 23:42

Cho mình hỏi là ở hai dòng cuối từ Đ/l Stolz rồi bạn lại có    $\lim_{x  \rightarrow 0}{u_{n}}$

$\frac{x_n}{y_n}= u_n$ ? 




#441322 $u_{n}= \frac{n+1}{2^{n+1}}...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 08-08-2013 - 18:34

Đặt $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2^k}{k} ; y_n = \frac{2^{n+1}}{n+1}$ 

Dễ thấy : $\lim x_n = \lim y_n = +\infty$

Ta có : $\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \frac{n+2}{n}$ 

Theo Stolz : $\lim \frac{x_n}{y_n} = \lim \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \lim \frac{n+2}{n} = 1$ 

Hay $ \lim u_n = 1 $ 

Điều phải chứng minh 




#439805 Tìm tất cả giá trị của $\alpha$ để $S_n$ hội tụ

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 01-08-2013 - 22:44

$S_1 = a_1 = \alpha $ 

$S_{n+1} - S_n = (S_n -2)^2$ 

$\Rightarrow S_{n+1} = S_n^2-3S_n +4$ 

Giả sử $S_2 > 2 $ 

Suy ra $S_3 > S_2 > 2 $

Dễ thấy $S_n$ tăng ngặt khi đó .

Giả sử bị $S_n$ bị chặn trên .

Suy ra tồn tại $\lim S_n = S $

Tính đc $S=2$ dẫn tới vô lý .

Suy ra $S_2 \leq 2 $

Khi và chỉ khi $\alpha ^2 - 3 \alpha +2 \leq 0 $

Khi và chỉ khi $1 \leq \alpha \leq 2 $ (*)

Ta chứng minh (*) là điều kiện cần và đủ đề $S_n$ hội tụ .

Thật vậy khi đó dễ dàng chứng minh đc $1 < S_n \leq 2 $ với mọi $n \geq 2$ .

Mặt khác $S_{n+1} \geq S_n $

Vậy $S_n$ tăng và bị chặn trên bởi 2 nên tồn tại giới hạn . 

Điều phải chứng minh  




#434874 $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 12-07-2013 - 21:06

$\frac{1}{a^2-1} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1})$

Suy ra : $\sum_{a,b,c} ( \frac{1}{a-1} -\frac{1}{a+1}) = 2 $

Mặt khác : $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} \geq \frac{9}{a+1}$

Từ đẳng thức và bất đẳng thức dễ dàng suy ra điều phải chứng minh  




#421773 Tìm GTNN $P = \frac{1}{9-5a}+\frac...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 28-05-2013 - 19:46

Ta chứng minh bất đẳng thức : $\frac{1}{9-5a} \geq \frac{5a^2+3}{32}$ $\forall 0<a<\sqrt{3}$

Thật vậy chứng minh bằng biến đổi tương đương ta thấy bất đẳng thức trên tương đương với : $(25a+5)(a-1)^2 \geq 0$ 

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=1$ 

Lập các bất đẳng thức tương tự với b,c . 

Ta có $P_{min} = \frac{3}{4}$ khi $a=b=c=1$ 




#412835 $lim\frac{n(1-x_n.n)}{x_n}$

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 15-04-2013 - 19:58

$f_n(x)=\ln (1+x^2)+nx-1$ 

$f_n(x)'=\frac{2x}{1+x^2}+n \geq 0 $ 

Suy ra $f_n(x)$ đồng biến . 

Suy ra $f_n(x)=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm .

Mà $f_n(0)=-1<0 , f_n(\frac{1}{n})=\ln (1+\frac{1}{n^2}) > \ln 1 =0$ , $f_n(x)$ liên tục .

Vậy $f_n(x)$ có nghiệm duy nhất $x_n \in (0 ; \frac{1}{n})$

Mặt khác $\lim \frac{1}{n} = 0$ 

Suy ra $\lim x_n = 0 $

Ta có : 

$\frac{n(1-nx_n)}{x_n}=\frac{nx_n(1-nx_n)}{x_n^2}=\frac{[1-\ln (1+x_n^2)]\ln (1+x_n^2)}{x_n^2}$

Suy ra $\lim \frac{n(1-nx_n)}{x_n}=\lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1+t)-\ln ^2(1+t)}{t}$

Mà $ \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1+t) -\ln ^2(1+t)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{1-2\ln (1+t)}{1+t} =1 $ ( Định nghĩa đạo hàm )

Vậy $\lim \frac{n(1-nx_n)}{x_n} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln (1+t) -\ln ^2(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1+t) - \ln ^2(1+t)}{t} =1 $ 




#411402 $$u_{n}=\int_{0}^{\frac{...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 08-04-2013 - 22:17

Mình mới nghĩ ra công thức truy hồi thôi , còn giới hạn thì chưa biết tính ^^ . 

Với $ n \in \mathbb{N}^{+} $ , đặt $u_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2n}xdx $ 

Xét $I_n = \int \tan^{2n}xdx $ 

Ta có : 

$I_{n+1} = \int \tan^{2n+2}xdx=\int (\frac{1}{\cos^2 x}-1)\tan^{2n}xdx=\int \tan^{2n}xd(\tan x ) - I_n = \frac{\tan^{2n+1}x}{2n+1} - I_n$ 

Cho các cận vào thì suy ra : 

$u_{n+1} = \frac{1}{2n+1} - u_n $ 

$u_1 = 1- \frac{\pi}{4}$ 




#411053 Cho dãy số $(u_n)$ thỏa: $u_{n+1}=u_n(1-u_n)$....

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 07-04-2013 - 15:45

Giả sử $u_2 < 0 \Rightarrow u_3-u_2 = -u_2^2 < 0 $ hay $u_3<u_2<0$ 

... Suy ra $u_n$ giảm ngặt , giả sử $u_n$ bị chặn dưới , khi đó $\exists \lim u_n = L$

$\Leftrightarrow L=L(1-L) \Leftrightarrow L=0 $ ( vô lý vì $u_n$ giảm và $u_n<0$).

Vậy $u_2 \geq 0 \Leftrightarrow u_1(1-u_1) \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq u_1 \leq 1$ (*)

Ta chứng minh (*) là điều kiện cần và đủ để $u_n$ có giới hạn hữu hạn . 

Thật vây ( không xét trường hợp đơn giản là $u_1=0;1$) 

$u_2 =u_1(1-u_1) > 0 ; u_2 -u_1 = -u_1^2 < 0$ hay $u_2<u_1<1 \Rightarrow 0<u_2<u_1<1$

...

Vậy ta có $u_n$ giảm thật sự và bị chặn dưới bởi 0 $\Leftrightarrow \exists \lim u_n = L \Leftrightarrow L = 0 $ ( thoả mãn ) 

Vậy (*) là điều kiện cần và đủ để $u_n$ hội tụ , điều phải chứng minh . 




#411024 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 07-04-2013 - 12:51

Đề bài phải là $\lim \sqrt[n]{f(\frac{1}{n})f(\frac{2}{n})...f(\frac{n}{n})}=e^{\int_0^1\ln f(x)dx}$ . ( Nếu đề như trên cho $f(x)=x$ thấy sai ngay : $\lim VT= 0 , VP=\frac{1}{e}$)

Khi đó lấy loga nepe 2 vế :

$\Leftrightarrow \lim \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln f(\frac{k}{n}) =\int_0^1 \ln f(x)dx $

Đúng theo định nghĩa tổng tích phân Riemann . 




#401825 $\lim_{x \to 0}\cos \frac{m}...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 03-03-2013 - 21:13

Xét $x_k = \frac{m}{2nk\pi}$
Dễ thấy $\lim_{k \to +\infty} x_k = 0$
Ta có : $\cos \frac{m}{n x_k} =\cos k2\pi = 1 $ với mọi k hay $ \lim_{k \to +\infty} \cos \frac{m}{n x_k} = 1 $
Tương tự chọn dãy : $x_k = \frac{m}{(2k+1)n\pi}$ thì $\lim_{k \to +\infty} \cos \frac{m}{n x_k} = -1$
Nhắc lại định nghĩa giới hạn của hàm số :
1 hàm số $f(x)$ được gọi là có giới hạn là L khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với mọi dãy $x_n : \lim x_n = x_0$ thì ta có : $lim f(x_n) = L $
Vậy theo định nghĩa giới hạn của hàm số thì suy ra không tồn tại $ \lim_{x \to 0} \cos \frac{m}{nx}$


#383898 Tính $a_{2013}$

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 05-01-2013 - 19:18

1. Sau khi mò mẫm cuối cùng cũng ra $a_n$ tuần hoàn với chu kì 6 . Cái này thì có thể chứng minh trực tiếp từ truy hồi hoặc dựa vào công thức tổng quát cũng được.
Đến đấy thì suy ra $a_{2013}=a_{15}=82$ không hiểu cho $a_{20}$ với $a_{30}$ để làm gì . chắc phải tính $a_{2011}$ nhỉ .
2. Đã thấy trên mathscope , nhưng mà không tìm thấy

@Dark templar :Chắc để tìm CTTQ :))


#381076 $lim\frac{u_{n}}{\sqrt{n}...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 28-12-2012 - 00:15

Dễ thấy $u_n >0 , \forall n$
Mặt khác : $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n} >0$ Vậy $u_n$ tăng
Giả sử $u_n$ có giới hạn hữu hạn là L . Suy ra : $L=L+\frac{1}{L}$ (vô lý)
Vậy $\lim u_n = +\infty$
Ta có : $\lim \frac{u_n^2}{n}=\lim (u_{n+1}^2-u_n^2)=\lim (2+\frac{1}{u_n^2})=2$
Hay $\lim \frac{u_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$
ĐPCM


#380570 Hãy tìm $\frac{x_0}{x_1}+\frac{x_1...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 26-12-2012 - 12:06

$x_2=\frac{1}{2}=\frac{1}{2!} , x_3=\frac{1}{6} =\frac{1}{3!}$
Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp theo công thức truy hồi :$x_n =\frac{1}{n!} , \forall n \geq 2 $
Vậy $\frac{x_0}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}+...+\frac{x_{50}}{x_{51}}=\frac{1}{2}+4+(3+4+...+51)=1327,5$