Trong khoảng $[0;100]$ , có bao nhiêu giá trị của x thoả mãn :
$x^2-[x]x=84,25$
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 23-09-2013 - 19:52
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 14-08-2013 - 20:43
$U_n^2 = U_{n+1} +2 =\frac{U_{n+1}^2-4}{U_{n+1}-2}=\frac{U_{n+1}^2-4}{U_n^2-4}$
$\Rightarrow \prod_{i=1}^n U_i^2 = \frac{U_{n+1}^2-4}{U_1^2-4} = \frac{U_{n+1}^2-4}{21}$
$\Rightarrow \frac{U_{n+1}^2}{\prod_{i=1}^n U_i^2} = 21 \frac{U_{n+1}^2}{U_{n+1}^2-4}$
Dễ dàng chứng minh $\lim U_n = +\infty$
Từ đó suy ra đc giới hạn cần tìm .
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 08-08-2013 - 23:42
Cho mình hỏi là ở hai dòng cuối từ Đ/l Stolz rồi bạn lại có $\lim_{x \rightarrow 0}{u_{n}}$
$\frac{x_n}{y_n}= u_n$ ?
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 08-08-2013 - 18:34
Đặt $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2^k}{k} ; y_n = \frac{2^{n+1}}{n+1}$
Dễ thấy : $\lim x_n = \lim y_n = +\infty$
Ta có : $\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \frac{n+2}{n}$
Theo Stolz : $\lim \frac{x_n}{y_n} = \lim \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \lim \frac{n+2}{n} = 1$
Hay $ \lim u_n = 1 $
Điều phải chứng minh
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 01-08-2013 - 22:44
$S_1 = a_1 = \alpha $
$S_{n+1} - S_n = (S_n -2)^2$
$\Rightarrow S_{n+1} = S_n^2-3S_n +4$
Giả sử $S_2 > 2 $
Suy ra $S_3 > S_2 > 2 $
Dễ thấy $S_n$ tăng ngặt khi đó .
Giả sử bị $S_n$ bị chặn trên .
Suy ra tồn tại $\lim S_n = S $
Tính đc $S=2$ dẫn tới vô lý .
Suy ra $S_2 \leq 2 $
Khi và chỉ khi $\alpha ^2 - 3 \alpha +2 \leq 0 $
Khi và chỉ khi $1 \leq \alpha \leq 2 $ (*)
Ta chứng minh (*) là điều kiện cần và đủ đề $S_n$ hội tụ .
Thật vậy khi đó dễ dàng chứng minh đc $1 < S_n \leq 2 $ với mọi $n \geq 2$ .
Mặt khác $S_{n+1} \geq S_n $
Vậy $S_n$ tăng và bị chặn trên bởi 2 nên tồn tại giới hạn .
Điều phải chứng minh
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 12-07-2013 - 21:06
$\frac{1}{a^2-1} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1})$
Suy ra : $\sum_{a,b,c} ( \frac{1}{a-1} -\frac{1}{a+1}) = 2 $
Mặt khác : $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} \geq \frac{9}{a+1}$
Từ đẳng thức và bất đẳng thức dễ dàng suy ra điều phải chứng minh
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 28-05-2013 - 19:46
Ta chứng minh bất đẳng thức : $\frac{1}{9-5a} \geq \frac{5a^2+3}{32}$ $\forall 0<a<\sqrt{3}$
Thật vậy chứng minh bằng biến đổi tương đương ta thấy bất đẳng thức trên tương đương với : $(25a+5)(a-1)^2 \geq 0$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=1$
Lập các bất đẳng thức tương tự với b,c .
Ta có $P_{min} = \frac{3}{4}$ khi $a=b=c=1$
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 15-04-2013 - 19:58
$f_n(x)=\ln (1+x^2)+nx-1$
$f_n(x)'=\frac{2x}{1+x^2}+n \geq 0 $
Suy ra $f_n(x)$ đồng biến .
Suy ra $f_n(x)=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm .
Mà $f_n(0)=-1<0 , f_n(\frac{1}{n})=\ln (1+\frac{1}{n^2}) > \ln 1 =0$ , $f_n(x)$ liên tục .
Vậy $f_n(x)$ có nghiệm duy nhất $x_n \in (0 ; \frac{1}{n})$
Mặt khác $\lim \frac{1}{n} = 0$
Suy ra $\lim x_n = 0 $
Ta có :
$\frac{n(1-nx_n)}{x_n}=\frac{nx_n(1-nx_n)}{x_n^2}=\frac{[1-\ln (1+x_n^2)]\ln (1+x_n^2)}{x_n^2}$
Suy ra $\lim \frac{n(1-nx_n)}{x_n}=\lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1+t)-\ln ^2(1+t)}{t}$
Mà $ \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1+t) -\ln ^2(1+t)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{1-2\ln (1+t)}{1+t} =1 $ ( Định nghĩa đạo hàm )
Vậy $\lim \frac{n(1-nx_n)}{x_n} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln (1+t) -\ln ^2(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1+t) - \ln ^2(1+t)}{t} =1 $
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 08-04-2013 - 22:17
Mình mới nghĩ ra công thức truy hồi thôi , còn giới hạn thì chưa biết tính ^^ .
Với $ n \in \mathbb{N}^{+} $ , đặt $u_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2n}xdx $
Xét $I_n = \int \tan^{2n}xdx $
Ta có :
$I_{n+1} = \int \tan^{2n+2}xdx=\int (\frac{1}{\cos^2 x}-1)\tan^{2n}xdx=\int \tan^{2n}xd(\tan x ) - I_n = \frac{\tan^{2n+1}x}{2n+1} - I_n$
Cho các cận vào thì suy ra :
$u_{n+1} = \frac{1}{2n+1} - u_n $
$u_1 = 1- \frac{\pi}{4}$
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 07-04-2013 - 15:45
Giả sử $u_2 < 0 \Rightarrow u_3-u_2 = -u_2^2 < 0 $ hay $u_3<u_2<0$
... Suy ra $u_n$ giảm ngặt , giả sử $u_n$ bị chặn dưới , khi đó $\exists \lim u_n = L$
$\Leftrightarrow L=L(1-L) \Leftrightarrow L=0 $ ( vô lý vì $u_n$ giảm và $u_n<0$).
Vậy $u_2 \geq 0 \Leftrightarrow u_1(1-u_1) \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq u_1 \leq 1$ (*)
Ta chứng minh (*) là điều kiện cần và đủ để $u_n$ có giới hạn hữu hạn .
Thật vây ( không xét trường hợp đơn giản là $u_1=0;1$)
$u_2 =u_1(1-u_1) > 0 ; u_2 -u_1 = -u_1^2 < 0$ hay $u_2<u_1<1 \Rightarrow 0<u_2<u_1<1$
...
Vậy ta có $u_n$ giảm thật sự và bị chặn dưới bởi 0 $\Leftrightarrow \exists \lim u_n = L \Leftrightarrow L = 0 $ ( thoả mãn )
Vậy (*) là điều kiện cần và đủ để $u_n$ hội tụ , điều phải chứng minh .
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 07-04-2013 - 12:51
Đề bài phải là $\lim \sqrt[n]{f(\frac{1}{n})f(\frac{2}{n})...f(\frac{n}{n})}=e^{\int_0^1\ln f(x)dx}$ . ( Nếu đề như trên cho $f(x)=x$ thấy sai ngay : $\lim VT= 0 , VP=\frac{1}{e}$)
Khi đó lấy loga nepe 2 vế :
$\Leftrightarrow \lim \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln f(\frac{k}{n}) =\int_0^1 \ln f(x)dx $
Đúng theo định nghĩa tổng tích phân Riemann .
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 03-03-2013 - 21:13
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 05-01-2013 - 19:18
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 28-12-2012 - 00:15
Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 26-12-2012 - 12:06
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học