Đến nội dung

zipienie

zipienie

Đăng ký: 23-06-2011
Offline Đăng nhập: 03-12-2023 - 21:12
***--

#354815 $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt...

Gửi bởi zipienie trong 17-09-2012 - 12:13

Đặt $u=\sqrt{2x+3}>0$ và $v=\sqrt{x+1}>0$ khi đó phương trình đã cho trở thành: $$u+v=u^2+v^2+2uv-20$$ $\Leftrightarrow $ $$(u+v)^2-(u+v)-20=0$$ Phương trình này dễ dàng giải được, sau đó ta tìm được $u+v=-4$ (loại vì $u+v>0$) và $u+v=5$.
Với $u+v=5\Rightarrow \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5 $ (phương trình này là dạng cơ bản có nhiều cách giả ví dụ như bình phương hai vế,..., nhưng mình xin giải theo cách sau).Xét hàm $f(x)=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}$ là hàm đồng biến nên phương trình $f(x)=5$ có không qua một nghiệm, mặt khác ta thấy $x=3$ là nghiệm và đó cũng là nghiệm duy nhất cần tìm.
Vậy $x=3$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
  • MIM yêu thích


#352639 $x+\frac{3x}{\sqrt{x^2+3}}=...

Gửi bởi zipienie trong 07-09-2012 - 06:56

Phương trình lượng giác của luxubuhl khi tìm được nghiệm dạng lượng giác thế ngược lại để tìm $x$ dưới dạng căn thức thì gần như ... không thể :ohmy: . Bạn có thể giải cụ thể bài này không? Xin cảm ơn bạn. :))
  • T M yêu thích


#352373 Giải phương trình :$$\sqrt{x+8}-\sqrt{x...

Gửi bởi zipienie trong 05-09-2012 - 20:28

ĐK: $x>1$
Bình phương hai vế của phương trình ta có $$4=\sqrt{x(x+8)}-\sqrt{x^2-1}$$ Chuyển $\sqrt{x^2-1}$ sang vế trái và tiếp tục bình phương ta có $$15+8\sqrt{x^2-1}=8x \iff 8x-15=8\sqrt{x^2-1}$$ (đk : $x\geq\frac{15}{8}$ (*)) Bình phương hai vế ta có $240x=289\iff x=\frac{240}{289}$ (không thảo mãn điều kiện (*) ). Vậy phương trình vô nghiệm.


#349582 Giải phương trình: $$\sin\left(\dfrac{3\pi }{10...

Gửi bởi zipienie trong 25-08-2012 - 17:20

Đặt $\frac{3\pi}{10}-\frac{x}{2}=t$ khi đó phương trình đã cho trở thành $$2\sin t=\sin 3t (1)$$ áp dụng công thức nhân ba cho $\sin 3t$ thì (1) trở thành $$\sin t(1-4\sin^2t)=0 $$ Phương trình này dễ dàng giải được, sau cùng ta thay trở lại theo biến $x$ thì ta được nghiệm của phương trình
$x=\frac{3\pi}{5}+k2\pi$ và $x=\frac{4\pi}{15}+k2\pi,x=\frac{14\pi}{15}+k2\pi$ ($k\in\Bbb{Z}$)
P/S: Trong phương trình trên khi thế quay trở lại theo biến $x$ thì khi chuyển vế ta sẽ thấy xuất hiện nghiệm có dạng $-k2\pi$ nhưng vì $k\in\Bbb{Z}$ nên ta có thể đổi lại dấu cho $k$ từ $-$ thành $+$.


#348656 Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sum x^...

Gửi bởi zipienie trong 20-08-2012 - 21:16

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
\sum x^2(y+z)=6\\
\sum xy(1+2xy)=9\\
x^2+y^2+z^2=3
\end{matrix}\right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta thêm vào hai vế một lượng $3xyz$ khi đó ta phương trình này trở thành $$(x+y+z)(xy+yz+zx)=6+3xyz$$ phương trình thứ hai của hệ được biến đổi thành $$2(xy+yz+zx)^2-4xyz(x+y+z)+(xy+yz+zx)=9$$ phương trình thứ ba của hệ được biến đổi thành $$(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=3$$ Đặt $a=x+y+z$, $b=xy+yz+zx$ và $c=xyz$ khi đó ta có hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix}
ab=6+3c\\
2b^2-4ac+b=9\\
a^2-2b=3
\end{matrix}\right.$
Hệ trên giải bằng phương pháp thế và ta rút được ẩn $a$ và được phương trình $a^4+3a^2-48a+36=0$ phương trình này có nghiệm $a=3$ và $a=-1-\frac{3}{\sqrt[3]{11+2\sqrt{37}}}+\sqrt[3]{11+2\sqrt{37}}$
Trường hợp $a=3$ thế ngược lại hệ ta có $b=3$ và $c=1$ ,áp dụng định lý VIET thì $x,y,z$ là nghiệm của phương trình $$t^3-3t^2+3t-1=0$$ từ đây suy ra $x=y=z=1$
Trường hợp còn lại làm tương tự nhưng vì nghiệm quá lẻ nên mình không tiện nghi ra đây.


#346368 $(4x-1).\sqrt{x^{2}+x+2}=2.(2x^{2}+x)...

Gửi bởi zipienie trong 13-08-2012 - 07:29

Giải phương trình:
$$(4x-1).\sqrt{x^{2}+x+2}=2.(2x^{2}+x)$$
Giải:Bình phương hai vế của phương trình này ta được phương trình sau
$$8x^3-21x^2+15x-2=0$$phương trình này có các nghiệm $x=1$ và $x=\frac{13\pm\sqrt{105}}{16}$.Thử lại thì thấy $x=1$ và $x=\frac{13+\sqrt{105}}{16}$ thỏa mãn, đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho.


#345336 Tìm tất cả giá trị dương sao cho $1!+2!+...+n!$ là 1 số...

Gửi bởi zipienie trong 10-08-2012 - 07:03

Tìm tất cả giá trị dương sao cho
$1!+2!+...+n!$ là 1 số chính phương.
Mình có cách khác cho bài này: Rõ ràng thì $n=1$ là một nghiệm của bài toán, xét trường hợp $x\not=1$ khi đó để ý rằng nếu một số là số chính phương thì nó luôn tận cùng là $0,1,4,5,6,9$ mặt khác thì nếu một số tự nhiên $a>4$ thì $a!$ luôn tận cùng là $0$. trong bài toán trên thì ta thấy rằng $1!+2!+3!+4!=33$ từ đó suy ra tổng $1!+2!+...+n!$ luôn tận cùng là 3 nếu $n\geq4$ vậy ta phải có là $n<4$ thử trực tiếp thấy $ n=3$ thỏa mãn, từ đây suy ra nghiệm cần tìm là $n=1$ và $n=3$


#345000 CMR $(\frac{x_1^{\beta}+x_2^{\beta...

Gửi bởi zipienie trong 09-08-2012 - 09:39

Dùng bdt JENSEN cho hàm $f(t)=t^{\frac{\alpha}{\beta}}$ ta chứng minh được hàm này là lồi trên tập xác định sau đó thay $t_i=x_i^{\beta}$ ($i=1,2,..,n$) khi đó ta có điều phải chứng minh.