Đến nội dung

le_hoang1995

le_hoang1995

Đăng ký: 29-06-2011
Offline Đăng nhập: 09-01-2016 - 21:52
*****

Trong chủ đề: CMR: $\dfrac{ab}{a+b-c}+\dfrac{bc...

16-02-2015 - 23:02

Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác.CMR: $\dfrac{ab}{a+b-c}+\dfrac{bc}{b+c-a}+\dfrac{ca}{a+c-b}\geq a+b+c$

BĐT tương đương với

$\sum \left ( \frac{ab}{a+b-c}-c \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ab-bc-ac+c^2}{a+b-c}\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+b-c}.(a-c)(b-c)\geq 0$
Đặt được ứng, BĐT tương đương $S_c.(a-c)(b-c)+S_a.(c-a)(b-a)+S_b.(a-b)(c-b)\geq 0$

Không mất tổng quát giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow S_a\geq S_b\geq S_c>0$
Suy ra $S_c.(a-c)(b-c)\geq 0$
Và $S_a.(a-c)\geq S_b.(a-c)\geq S_b.(b-c)$

$\Rightarrow S_a.(a-c).(a-b)\geq S_b.(b-c)(a-b)\Leftrightarrow S_a.(c-a)(b-a)+S_b.(a-b)(c-b)\geq 0$

$\Rightarrow S_c.(a-c)(b-c)+S_a.(c-a)(b-a)+S_b.(a-b)(c-b)\geq 0$

BĐT đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$


Trong chủ đề: $\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+...

28-01-2015 - 22:40

Với 3 số dương $x,y,z$ và $x+y+z=1$.Tìm max

$\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}$

Theo BĐT cauchy-schwarz ta có

$x+\sqrt{x+yz}=x+\sqrt{x^2+xy+xz+yz}=x+\sqrt{(x+y)(z+x)} \geq x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=\sqrt{x}.(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

Vậy $VT=\sum \frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}\leq \sum \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$


Trong chủ đề: $\sum \dfrac{x^2}{x+y^2} \geqslan...

28-01-2015 - 22:32

 

Bài 2. [Chỉ dùng biến đổi tương đương và không được dùng AM-GM] Cho các số không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh:

$$\dfrac{x^2}{x+y^2}+\dfrac{y^2}{y+z^2}+\dfrac{z^2}{z+x^2} \geqslant \dfrac{3}{2}$$


Lưu ý: Nếu vào trong này giải bài thì không ghi tiếng anh nếu không phải ngoại quốc.

Ta có $$\sum \frac{x^2}{x+y^2}=\sum \left ( x-\frac{xy^2}{x+y^2} \right )\geq \sum \left ( x-\frac{xy^2}{2y\sqrt{x}} \right )=\sum \left ( x-\frac{y\sqrt{x}}{2} \right )=3-\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}}{2}$$

Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có $$y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}\leq \sqrt{(xy+yz+zx)(y+z+x)}\leq \sqrt{\frac{(x+y+z)^2}{3}.(x+y+z)}=3$$

Vậy $$VT\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$


Trong chủ đề: $\sum \frac{a^{2}}{a+b}+...

06-12-2014 - 20:17

Cho a, b, c > 0. Chứng minh $\sum \frac{a^{2}}{a+b}+\frac{1}{2}\sum \sqrt{ab}\geqslant \sum a$

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\sum \left ( a-\frac{ab}{a+b} \right )+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\geq a+b+c$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\geq \frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}$

Nhưng BĐT này đúng do $\frac{\sqrt{ab}}{2}=\frac{ab}{2\sqrt{ab}}\geq \frac{ab}{a+b}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$


Trong chủ đề: CMR: $\frac{n+1}{n+2} - n.\frac{...

30-11-2014 - 21:41

 

Chứng minh bằng qui nạp với $n,k \in  \mathbb{N}*$

$\frac{n+1}{n+2} - n.\frac{\sum_{k=1}^{n}\frac{2^{k}}{k}}{2^{n+1}} < 0$
 
Giúp mình bài này với!!!

 

Bài này với $n=1$ thì BĐT sai, còn từ 2 trở đi mới đúng. Bạn xem lại đề nhé. Mình chứng minh như sau

Ta chứng minh bổ đề: với $n\geq2$ thì ta có BĐT

$$2+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^{n-1}}{n-1}\geq\frac{2^n}{n}$$

Với $n=2$ dễ thấy BĐT đúng

Giả sử BĐT đúng với $n=k$ suy ra $2+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^{k-1}}{k-1}\geq\frac{2^k}{k}$

Ta thấy $2+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^{k-1}}{k-1}+\frac{2^k}{k}\geq\frac{2^k}{k}+\frac{2^k}{k}=\frac{2^{k+1}}{k}>\frac{2^{k+1}}{k+1}$

Suy ra BĐT đúng với $n=k+1$

Theo nguyên lí quy nạp toán học, BĐT đúng với mọi $n\geq2$

________________________________________________

Trở lại BĐT ban đầu, ta có

$2+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^{n-1}}{n-1}\geq\frac{2^n}{n}$
$\Leftrightarrow 2+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^{n-1}}{n-1}+\frac{2^n}{n}\geq2.\frac{2^n}{n}=\frac{2^{n+1}}{n}$
$\Leftrightarrow n.\frac{\sum_{k=1}^{n}\frac{2^{k}}{k}}{2^{n+1}}\geq1$

Dễ thấy $\frac{n+1}{n+2}<1$

Vậy $\frac{n+1}{n+2}< n.\frac{\sum_{k=1}^{n}\frac{2^{k}}{k}}{2^{n+1}}$