lequanghung98

Ta có $\sqrt[3]{1.1.(a+2b)}\leq \frac{a+2b+2}{3}$

$VT=\sum \frac{a^{2}}{\sqrt[3]{a+2b}}\geq \sum \frac{3a^{2}}{a+2b+2}=3(\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab+2a})\geq 3\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+2(a+b+c)}=3.\frac{1}{3}=1.$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài 2:a) $y=x^{2}\Rightarrow y^{2}+(1-m)y+2m-2=0.$ với $y=x^{2}$ $(y>=0)$

$\Delta =(1-m)^{2}-4(2m-2)=m^{2}-10m+9$

Phương trình $x^{4}+(1-m)x^{2}+2m-2=0$ có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow y^{2}+(1-m)y+2m-2=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt.

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta >0\Leftrightarrow m^{2}-10m+9>0\Leftrightarrow (m-1)(m-9)>0\Leftrightarrow m>9 \begin{bmatrix} m>9\\ m<1 \end{bmatrix}\\ y_{1}+y_{2}>0\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\\ y_{1}.y_{2}>0\Leftrightarrow 2m-2>0\Leftrightarrow m>1 \end{matrix}\right.$.

Vậy $m>9$ thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt dương.

 

b) Nhận xét: $x_{1}$ là nghiệm thì $-x_{1}$ cũng là nghiệm của phương trình bậc 4 trên.

Ta có $x_{1}=\sqrt{y_{1}, x_{2}=-\sqrt{y_{1}, x_{3}=\sqrt{y_{2}, x_{4}=-\sqrt{y_{2}$

Thay vào biểu thức, ta được $y_{1}+y_{2}=2013\Leftrightarrow m-1=2013\Leftrightarrow m=2014$

Làm thử câu a sai thông cảm nha

$x^2+y^2+z^2=13-a^2 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3=16-a^2$

$x+y+z=7-a \Leftrightarrow 2(x+y+z)=14-2a$

Ta luôn có $x^2+y^2+z^2+3 \geq 2(x+y+z)$ với mọi $x,y,z$

$ Rightarrow 16-a^2 \geq 14-2a \Leftrightarrow a^2-2a-2 \leq 0$ đến đây tìm đk miền giá trị của $a$

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\geq 2(x+y+z)$ . Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$ nên $a=4$ với điều kiện thứ nhất, $a=\pm \sqrt{10}$ với điều kiện thứ 2.

Bạn nào lý luận giúp mình chỗ $c^{2}-18c+14< 0$ được không?

----------------

$c\leq 2\Rightarrow c^{2}\leq 2c\leq 4$

$c\geq 1\Leftrightarrow -18c\leq -18$

$\Rightarrow c^{2}-18c+14< 0$

Không biết thế này đã được chưa?

$a\geq 1, b\geq 1\Rightarrow a+b\geq 2\Leftrightarrow 6-2c\geq 2\Leftrightarrow c\leq 2$

$(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1= 6-2c-1=5-2c$

$a^{3}+b^{3}+5c^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)+5c^{3}\leq (6-2c)^{3}-3(6-2c)(5-2c)+5c^{3}=(2-c)3(c^{2}-18c+14)+42$

Mà $c\leq 2\Rightarrow c(c-18)+14\leq 2(2-18)+14=-18< 0$ và $c\leq 2\Leftrightarrow 2-c\geq 0$

Nên $(2-c)3(c^{2}-18c+14)\leq 0\Leftrightarrow (2-c)3(c^{2}-18c+14)+42\leq 42 \Rightarrow a^{3}+b^{3}+5c^{3}\leq 42$

Dấu $'='$ xảy ra khi $a=1, b=1 và c=2$

 

 

@hocgiotto13031998: đề vẫn đúng mà.

Phương trình $\Leftrightarrow (\sqrt{3-t}-1)^{2}+(\sqrt{4t+1}-3)^{2}=0$

$2)$ Giải hệ phương trình sau

        $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^2+2012})(y+\sqrt{y^2+2012})=2012\\ \\ x^2+z^2-4(y+z)+8=0 \end{matrix}\right.$

 

Từ phương trình đầu, ta có: $(x+\sqrt{x^{2}+2012})(y+\sqrt{y^{2}+2012})=2012\Leftrightarrow (x-\sqrt{x^{2}+2012})(y+\sqrt{y^{2}+2012})=2012(x-\sqrt{x^{2}+2012}) (1)$

$(x+\sqrt{x^{2}+2012})(y+\sqrt{y^{2}+2012})=2012\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^{2}+2012})(y+\sqrt{y^{2}+2012})(y-\sqrt{y^{2}+2012})=2012(y-\sqrt{y^{2}+2012}) (2)$

Khai triển $(1), (2)$, thu gọn, ta được mối liên hệ $x=-y$ sau đó thay vào phương trình phía dưới.

Sửa lại đề này:$x+3+\sqrt{1-x^{2}}=3\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}$ Điều kiện tự đặt nhé

Đặt $a=\sqrt{1-x}, b=\sqrt{1+x}$

$b^{2}+2+ab=3b+a\Leftrightarrow b^{2}+b(a-3)+2-a=0$

Xem như đây là phương trình bậc 2 ẩn $b$

Tính $\Delta$ sẽ thấy nó có dạng bình phương của một số, từ đó tìm ra mối liên hệ giữa a và b.

Kết luận $x=0$ là nghiệm duy nhất.

Câu này đề thi vào 10 Hà Nội đây mà. Từ điều kiện chia 2 về cho $abc>0$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=6 \Leftrightarrow \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}=12$$\Leftrightarrow \frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}=12-\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$

Cộng vào hai vế với $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$, ta có:

$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}=9+(\frac{1}{a}-1)^{2}+(\frac{1}{b}-1)^{2}+(\frac{1}{c}-1)^{2} \Rightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}\geq 9$

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$(1^{2}+1^{2}+1^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}\geq 9$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 3$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.

pt tương đương với

$$(x-3)(x+4)(x-2)(x+3) = 7$$

$$\Leftrightarrow (x^2+x-12)(x^2+x-6) = 7$$

$$\Leftrightarrow (x^2+x-9)^2-9 = 7$$

$$\Leftrightarrow (x^2+x-9)^2=16$$

Dễ rồi.

 

$\Leftrightarrow (x^{2}+x-9-4)(x^{2}+x-9+4)=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}+x-13)(x^{2}+x-5)=0$

$x^{2}+x-13=0 (\bigtriangleup =53)$

$x_{3}=\frac{-1+\sqrt{53}}{2}$

$x_{4}=\frac{-1-\sqrt{53}}{2}$

$x^{2}+x-5=0 (\bigtriangleup =21)$

$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$

$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

Bài này làm chết mệt.

$\frac{4c}{4c+57}\geq \frac{1}{1+a}+\frac{35}{35+2b}\geq 2\sqrt{\frac{35}{(1+a)(2b+35)}}> 0$

Theo giả thiết, ta có:

$\frac{1}{1+a}-\frac{4c}{4c+57}\leq \frac{-35}{35+2b} \Leftrightarrow \frac{1}{1+a}-\frac{4c}{4c+57}+1\leq 1-\frac{35}{35+2b}= \frac{2b}{35+2b} \Leftrightarrow \frac{2b}{2b+35}\geq \frac{1}{1+a}+\frac{57}{4c+57}\geq 2\sqrt{\frac{57}{(1+a)(4c+57)}}$

$1-\frac{1}{1+a}\geq 1-\frac{4c}{41+57}+\frac{35}{35+2b} \Leftrightarrow \frac{a}{1+a}\geq \frac{57}{4c+57}+\frac{35}{35+2b}\geq 2\sqrt{\frac{35.57}{(4c+57)(35+2b)}}$

$\Rightarrow \frac{8abc}{(1+a)(4c+57)(2b+35)}\geq \frac{8.35.57}{(1+a)(2b+35)(4c+57)} \Leftrightarrow abc\geqslant 35.57=1995$

"=" xảy ra $\Leftrightarrow a=2, b=35, c=\frac{57}{2}$

Lời giải sưu tầm (nhớ một phần)

Bài I:

 

1) Chứng minh $\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2013\sqrt{2012}}> 1$

 

2) Chứng minh $(4^{n}+15n-1)\vdots 9$ với $n\in N$

 

 

Bài II:

 

1) Giải hệ 

 

$(x+\sqrt{y^{2}+1})(y+\sqrt{x^{2}+1})=1$

 

$x^{2}+y^{2}=8$

 

2) Tìm nghiệm nguyên không âm x, y của phuơng trình $3^{x}-y^{3}=1$

 

 

Bài III: Cho đường tròn tâm $O$ và đường thẳng $d$ không cắt đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ lên $d$. qua $I$ kẻ 2 cát tuyến $IDA$ và $ICB$ với đường tròn $(O)$. Đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt $d$ tại $M$ và $N$. Gọi $H$, $K$ là hình chiếu của $O$ lên $BD$ và $AC$.

 

1) Chứng minh rằng $ID.IK=IC.IH$

 

2) Chứng minh $IM=IN$

 

 

Bài IV:

 

Cho đa thức $P(x)$ có hệ số là các số nguyên, $a$ là hệ số tự do. Tìm $a$ biết $\left | a \right |< 100$ và $P(19)=P(5)=2013$.

 

 

Bài V:

 

Trên mặt phẳng cho $4025$ điểm sao cho với ba điểm bất kì trong số đo luôn tồn tại $2$ điểm mà khoảng cách giữa $2$ điểm đó nhỏ hơn $1$. Chứng minh rằng tồn tại hình tròn bán kính bằng $1$ chứa không ít hơn $2013$ điểm trong số các điểm đã cho.