Tham Lang

Bài toán :
Cho $x_1, x_2, ..., x_n \in (0,1)$ và $\sigma$ là một hoán vị của ${1,2,...,n}$. Chứng minh rằng :
$$\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{1-x_i}\ge \left (1+\dfrac{\sum_{i=1}^{n}{x_i}}{n}\right )\left (\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{1-x_i.x_{\sigma\left (i\right )}}\right )$$

@Dark templar:Bài này có trong cuốn Old anh New Inequality,cũng cũ rồi,tư tưởng là xài C-S chứng minh $\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x_{i}x_{\sigma(i)}} \right) \le \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x_{i}^2}$,sau đó là Chebyshev

Bài toán [Tham Lang]
Cho các số thực $a,b,c,d$. Tìm GTNN của biểu thức :
$$P=(a-b+1)^2+(b-4)^2+(2c-d+7)^2+(d+3)^2+(a-4b+3c-6d+9)^2$$

Wow ! Lâu ngày mới post bài.
Bài toán [Tham Lang - Mít]
Chứng minh rằng, nếu $a, b, c>0; a+b+c=3$ thì ta có :
$$\left (ab+bc+ca\right )\left (\dfrac{a}{b+\sqrt{8}}+\dfrac{b}{c+\sqrt{8}}+\dfrac{c}{a+\sqrt{8}}\right ) \le \dfrac{9}{1+2\sqrt{2}}$$
Câu hỏi : Hãy làm mạnh bài toán

Trường THPT Bắc Yên Thành

Đề thi khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi tỉnh

Môn Toán 12 Năm học 2012-2013

Thời gian làm bài : 150 phút.

Câu 1.(5đ)
a.Giải phương trình :
$$x=\sqrt{3-x}\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}\sqrt{3-x}$$
b. Giải bất phương trình :
$$2x^2-6x+2 \ge \log_{2}{\dfrac{2x+1}{(x-1)^2}}$$
Câu 2.(3đ)
Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm :
$$\left\{\begin{array}{1}\sqrt{x-1}-y^2=a \\x^{11}+xy^{10}=y^{22}+y^{12} \end{array}\right.$$
Câu 3.(3đ)
Chứng minh rằng :
$$C_{2001}^{k} +C_{2001}^{k+1} \le C_{2001}^{1000}+C_{2001}^{1001} ( k \in N, k \le 2001)$$
Câu 4.(3đ)
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $I(6,6)$ và ngoại tiếp đường tròn tâm $K(4, 5)$. Biết $A(2, 3)$. Xác định toạ độ đỉnh $B, C$ của tam giác.
Câu 5.(2đ)
Cho $\alpha, \beta, \gamma \in \left [\dfrac{\pi}{6}; \dfrac{\pi}{2}\right ]$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{\sin{\alpha}- \sin{\beta}}{\sin{\gamma}}+\dfrac{\sin{\beta}-\sin{\gamma}}{\sin{\alpha}}+\dfrac{\sin{\gamma}-\sin{\alpha}}{\sin{\beta}} \le \left (1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right )^2$$
Câu 6.(2đ)
Trong không gian cho 4 đường thẳng $d_1, d_2, d_3, d_4$ song song với nhau và không có 3 đường thẳng nào cùng thuộc một mặt phẳng. Hai mặt phẳng $(P), (Q)$ khác nhau lần lượt cắt 4 đường thẳng trên theo thứ tự $A, B, C, D; A', B', C', D'$. Chứng minh rằng :
$$V_{D'.ABCD}=V_{D.A'B'C'D'}$$.
Câu 7.(2đ)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân $(AB=BC=1)$ và các cạnh bên $SA=SB=SC=3$. Gọi $K, L$ lần lượt là trung điểm của $AC, BC$. Trên các cạnh $SA, SB$ lần lượt lấy các điểm $M, N$ sao cho $SM=BN=1$. Tính thể tích khối chóp $LMNK$.

Bài toán [Tham Lang]
Cho $a,b,c$ là các biến dương và $\alpha, \beta; x,y,z; m, n, p;q $ là các số thực dương thoả mãn :
$\left\{\begin{array}{1} ma^{\alpha}+nb^{\alpha}+pc^{\alpha} = q \\ \alpha >\beta \end{array}\right.$
Tìm GTLN của $P=xa^{\beta}+yb^{\beta}+zc^{\beta}$