Đến nội dung

L Lawliet

L Lawliet

Đăng ký: 23-07-2011
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

Trong chủ đề: $x=\sqrt{2-x}.\sqrt{5-x}...$

06-10-2016 - 22:53

Giải phương trình:

 

$x=\sqrt{2-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{3-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{3-x}.\sqrt{2-x}$

Mình có cách này...không biết có đúng không

Đk $x\leq 3$

Đặt $a = \sqrt{3 - x} + \sqrt{4 - x}$

$b = \sqrt{5 - x} + \sqrt{4 - x}$

$c = \sqrt{3 - x} + \sqrt{5 - x}$

$A = \sqrt{3 - x}\sqrt{4 - x} + \sqrt{5 - x}\sqrt{4 - x} + \sqrt{3 - x}\sqrt{5 - x} - x = 0$

Xét $ab = 4 - x + \sqrt{3 - x}\sqrt{4 - x} + \sqrt{5 - x}\sqrt{4 - x} + \sqrt{3 - x}\sqrt{5 - x} = 4 + A = 4$

Tương tự ta có

$bc = 5 + A = 5$

$ac = 3 + A = 3$

=> $b^{2}ac = 20$

Mà $ac = 3 + A = 3$

=> $b^{2} = \frac{20}{3}$

=> $9 - 2x + 2\sqrt{4 - x}\sqrt{5 - x} = \frac{20}{3}$

=> $\sqrt{4 - x}\sqrt{5 - x} = x - \frac{7}{6}$

Tương tự với 2 cái còn lại

Thay vào phương trình ban đầu thì ra phương trình bậc nhất ẩn x...


Trong chủ đề: $x+\sqrt{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^...

06-10-2016 - 22:13

giải phương trình :

$x+\sqrt{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$

Bạn đặt $x+\sqrt{17-x^{2}}=t$ thì $x\sqrt{17-x^{2}}=\dfrac{t^{2}-17}{2}$.


Trong chủ đề: $\int_{1}^{0} \dfrac{3x^2-3}...

24-09-2016 - 22:29

Tính tích phân: $\int_{1}^{0} \dfrac{3x^2-3}{(x^2+1)(x^2+3x+1)} \ dx$

Lời giải.

Ta có:

\begin{align*} I&=\int_{1}^{0}\dfrac{3x^{2}-3}{\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x^{2}+3x+1 \right )}dx \\ &=\int_{1}^{0}\dfrac{2x}{x^{2}+1}dx-\int_{1}^{0}\dfrac{2x+3}{x^{2}+3x+1}dx \\ &=\ln \left | x^{2}+1 \right |\bigg|_{1}^{0}-\ln \left | x^{2}+3x+1 \right |\bigg|_{1}^{0} \\ &=\ln \dfrac{5}{2} \end{align*}

----

Đề phòng cho câu hỏi "tại sao lại có dòng thứ hai" thì xem ở đây nhé :D


Trong chủ đề: Tìm GTLN của x+y với x;y là nghiệm của hệ

21-09-2016 - 14:07

Lời giải.

$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}=3\qquad \left ( 1 \right ) \\ y-\dfrac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=0\qquad \left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.$$

Lấy $\left ( 1 \right )+i\left ( 2 \right )$ ta được:

$$x+yi+\dfrac{3\left ( x-yi \right )-\left ( xi+y \right )}{x^{2}+y^{2}}=0\qquad \left ( 3 \right )$$

Đặt $z=x+yi$ phương trình $\left ( 3 \right )$ trở thành:

$$z+\dfrac{3\overline{z}-\overline{z}i}{\left | z \right |^{2}}=3$$

$$\Leftrightarrow z+\dfrac{3-i}{z}=3$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} z=2+i \\ z=1-i \end{array}\right.$$
Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( 2;1 \right ),\left ( 1;-1 \right )$.
----
Bài toán này xây dựng từ số phức nên giải bằng số phức là nhanh nhất. Tuy nhiên để hợp với chương trình mình trình bày lời giải khác không sử dụng số phức:
Lời giải.
$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}=3\qquad \left ( 1 \right ) \\ y-\dfrac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=0\qquad \left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.$$
Ta thấy $x=0$ hoặc $y=0$ đều không phải nghiệm của hệ nên xét $xy\neq 0$.
Lấy $y\left ( 1 \right )+x\left ( 2 \right )$ ta được:
$$2xy-1=3y$$
$$\Leftrightarrow x=\dfrac{3y+1}{2y}$$
Thay vào $\left ( 2 \right )$ ta được:
$$y-\dfrac{\frac{3y+1}{2y}+3y}{\left ( \frac{3y+1}{2y} \right )^{2}+y^{2}}=0$$
$$\Leftrightarrow y\left ( y-1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( 4y^{2}+1 \right )=0$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} y=0 \\ y=\pm 1 \end{array}\right.$$
Vì $y\neq 0$ nên ta được $y=\pm 1$.
Với $y=1$ ta được $x=2$, với $y=-1$ ta được $x=1$.
Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( 2;1 \right ),\left ( 1;-1 \right )$.

Trong chủ đề: CMR $a+b+c> 2\sqrt{abc}$

21-09-2016 - 13:40

Cho a,b,c lần lượt là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=4\sqrt{abc}$

CMR $a+b+c> 2\sqrt{abc}$

Giả thuyết bị nhầm bạn nhé, nếu vậy thì bất đẳng thức cần chứng minh hiểu nhiên đúng rồi :))

Nếu đúng thì giả thuyết phải là $a^{2}+b^{2}+c^{2}=4\sqrt{abc}$.

Ta có:

$$a+b+c>2\sqrt{abc}$$

$$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c>6\sqrt{abc}$$
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 6\sqrt[6]{a^{3}b^{3}c^{3}}=6\sqrt{abc}$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=0$ (không xảy ra) nên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.