tra81

Chứng minh PT có nghiệm dương

$\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + ... + \frac{1}{{\left( {x + 2015} \right)\left( {x + 2016} \right)}} = \frac{1}{2}$

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ${a^3} + {b^3} = {c^3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left[ {\frac{1}{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}}} \right]$

Giải phương trình:
$x^{2}-2x+7+\sqrt{x+3}=2\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$

${x^2} - 2x + 7 + \sqrt {x + 3} = 2\sqrt {1 + 8x} + \sqrt {1 + \sqrt {1 + 8x} }$

$\Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 + \sqrt {x + 3}  = 1 + 2\sqrt {1 + 8x}  + 1 + 8x + \sqrt {1 + \sqrt {1 + 8x} }$

$\Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + \sqrt {x + 3}  = {\left( {1 + \sqrt {1 + 8x} } \right)^2} + \sqrt {1 + \sqrt {1 + 8x} } $ 

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn $ab + bc + ca \ge 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P = \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} + \sqrt {{{\left( {a + 2c} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {b + 2} \right)}^2}}}}  + \sqrt {{{\left( {a + 2b} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {a + c + 1} \right)}^2}}}} $

$P + Q = 6 \Leftrightarrow \left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 5\left( {x + y} \right) = 6$

$ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) - 3\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right] + 5\left( {x + y} \right) = 6$

đặt $x + y = t$

khi đó:

${t^3} - 3xyt - 3\left[ {{t^2} - 2xy} \right] + 5t = 6 \Leftrightarrow {t^3} - 3xyt - 3{t^2} + 6xy + 5t = 6$

$\Leftrightarrow {t^3} - 3{t^2} - \left( {3xy - 5} \right)t + 6xy = 6 \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {{t^2} - t - 3xy + 3} \right) = 0$

Lăng trụ $ABC.A'B'C'$ đáy là tam giác vuông ở $A$ , $BC=2a$. $\Delta BB'C'$ vuông ở $C'$, $CC'$ tạo với đáy góc $60^0$. $I$ là trung điểm của $BC$, $AI \perp (BCC'B')$ .

a, Tính $V_{B'ABC'}$

b, Tính $d(A'B',BC')$

1. Tính thể tích

Tam giác BB’C’ vuông tại C’, suy ra $BC' \bot B'C' \Rightarrow BC' \bot BC$

$AI \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow BC' \bot AI$

suy ra $BC' \bot \left( {ABC} \right)$

$\left( {CC',\left( {ABC} \right)} \right) = \angle C'CB = {60^0}$

Tam giác ABC vuông cân tại A suy ra $AC = a\sqrt 2  \Rightarrow {S_{ABC}} = {a^2}$

$BC' = BC\tan {60^0} = 2a\sqrt 3 $

${V_{B'ABC'}} = \frac{1}{6}{V_{ABC.A'BC'}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$

2. Tính khoảng cách

Nhận thấy A’C’ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau BC’ và A’B’ nên

 $d\left( {A'B',BC'} \right) = A'C' = AC = a\sqrt 2 $

Cho hai số thực dương x, y thỏa điều kiện: $\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt y  + 1} \right) \ge 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x}$

Các bạn giải bài sau đây , đề bài hợp lý hơn : 

Giải phương trình : $x\sqrt{2-x}=3x^{2}+2x-4$

$x\sqrt {2 - x}  = 3{x^2} + 2x - 4 \Leftrightarrow 2\left( {2 - x} \right) + x\sqrt {2 - x}  - 3{x^2} = 0$

Đặt: $\sqrt {2 - x}  = t$

PT trở thành: $2{t^2} + xt - 3{x^2} = 0$ có ${\Delta _t} = 25{x^2}$

Vậy PT có nghiệm 

Cho $m > 0,a \ne 0$ và b, c tùy ý thỏa mãn $\frac{a}{{m + 2}} + \frac{b}{{m + 1}} + \frac{c}{m} = 0$. Chứng minh PT $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm

Cho $x,y,z > 0$ và $xyz = 1$. Tìm GTNN của 

$P = \frac{{{x^2}\left( {y + z} \right)}}{{{y^3} + 2{z^3}}} + \frac{{{y^2}\left( {z + x} \right)}}{{{z^3} + 2{x^3}}} + \frac{{{z^2}\left( {x + y} \right)}}{{{x^3} + 2{y^3}}}$

Xét số thực x. Tìm GTNN của biểu thức

$P = \frac{{\sqrt {3\left( {2{x^2} + 2x + 1} \right)} }}{3} + \frac{1}{{\sqrt {2{x^2} + \left( {3 - \sqrt 3 } \right)x + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2{x^2} + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)x + 3} }}$

Đề thi thử của BGD, bài này, bộ giải khiếp quá, bạn nào có cách dễ hiểu hơn không?

Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn $0 < a,b,c < \frac{1}{2}$ và $a + b + c = 1$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \frac{{5a - 1}}{{a - {a^2}}} + \frac{{5b - 1}}{{b - {b^2}}} + \frac{{5c - 1}}{{c - {c^2}}}$

Tìm tất cả các hàm số $f:{R^ + } \to {R^ + }$ thỏa mãn điều kiện: 

$f\left( {1 + y.f\left( x \right)} \right) = x.f\left( {x + y} \right),\forall x,y \in {R^ + }$

Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi: ${x_1} = 6,{x_{n + 1}} = x_n^2 - 5{x_n} + 5,\forall n \ge 1$.

Tính $\lim \left( {\frac{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}{{{x_{n + 1}}}}} \right)$

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi: 

${x_1} = 1,{x_{n + 1}} = \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2}{x_n} + 1}},\forall n \ge 1$