gogeta

Cho M,N,P thứ tự thuộc BC,CA,AB của tam giác ABC cân tại A sao cho tứ giác MNAP là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của BN và CP. Chưng minh : góc OMP=góc AMN

1. Tìm x, y, z nguyên dương sao cho:

 $x^2+y^2=z^2$ và $xy=2(x+y+z)$.

2. Tìm nghiệm nguyên phương trình:

$x^{3}+y^{3}=xy+8$.

3. Giải phương trình nghiệm nguyên:

a) $x^{2}+2y^{2}+3xy-x-y+3=0$

b) $x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$.

4. Giải phương trình nghiệm nguyên:

$x^2-2x-11=y^2$.

5. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

a) $11x+18y=120$

b) $5x-3y=2xy-11$

Cho mình tham gia với nhé:

Cho (O), dây AB cố định. I là điểm chính giữa cung lớn AB. Lấy M bất kì trên cung lớn AB. Dựng tia Ax $\perp$ MI tại H và cắt BM tại C.

a) C/m: $\Delta$AIB, $\Delta$ACM cân.

b) C/m: C di chuyển trên một cung tròn cố định.

c) Xác định vị trí của M để chu vi $\Delta$AMC lớn nhất.

"Tiếp chiêu" nè:

1. Giải PT $x^2-mx+n=0$. Biết PT có hai nghiệm phân biệt nguyên dương, m và n là các số nguyên tố.

2. Tìm GTLN, GTNN của $A=(x^{4}+1)(y^{4}+1)$. Biết x, y $\geq$ 0 và x + y = $\sqrt{10}$.

1. Cho a, b, c, d $\geq$ 0 và abcd=1. Chứng minh:

$\frac{1}{a^{4}+b^{4}+c^{4}+1}+\frac{1}{b^{4}+c^{4}+d^{4}+1}+\frac{1}{c^{4}+d^{4}+a^{4}+1}+\frac{1}{d^{4}+a^{4}+b^{4}+1}\leq 1$

2. Cho p, q thỏa mãn $p^{3}+q^{3}=2$. Chứng minh: $p+q \leq 2$.

3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

$\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

4. Cho a, b,c >0, abc=1. Chứng minh:

$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+ \frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq 1$.

1. Tìm $\overline{xy}$ biết $\frac{xy}{\left | x-y \right |}$ là số nguyên tố.

2. Cho $a\in \mathbb{N}, a>1$. Chứng minh $A=a^{4}+4^{a}$ là hợp số.

3. Tìm $\overline{xyz}$ là số có 3 chữ số, thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} \overline{xyz}=n^2-1\\\overline{zyx}=(n-2)^2\ \end{matrix}\right.$ với $n\in \mathbb{Z}, n>2$.

4. Tìm các số nguyên a, b sao cho ab=p(a+b) với p là một số nguyên tố cho trước.

5. Cho hệ phương trình: $x+ay=1, -ax+y=a$.

a) Chứng minh hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.

b) Tìm a để phương trình có nghiệm (x;y) sao cho x, y<1.

Giải:

a) Vì $x+ay=1, -ax+y=a$ là HPT nên a khác 0.

Do đó: $\frac{1}{-a}\neq \frac{a}{1}$. Vậy HPT có nghiệm duy nhất.

b) Ta có:

     $x+ay=1, -ax+y=a$ $\Leftrightarrow$ $x=1-ay;-ax+y=a \Leftrightarrow -a(1-ay)+y=a \Leftrightarrow (a^2+1)y=2a$

Mà $a^2+1\geq 2a$ nên $y\leq 1$.

Lại có: $x+ay=1, -ax+y=a \Leftrightarrow x+ay=1;y=a+ax\Leftrightarrow (a^2+1)x=1-a^2$

Mà $a^2+1\geq 1-a^2$ nên $x\leq 1$

Ta có $\frac{2b}{a}\geqslant \frac{c}{a}+4\Leftrightarrow 2b\geq c+4a$

$\Delta =b^2-4ac=\frac{4b^2-16ac}{4}\geq \frac{(c+4a)^2-16ac}{4}=\frac{(c-4a)^2}{4}\geq 0\Rightarrow \Delta \geq 0$

Vậy...

Điều đó chỉ đúng khi a>0 thôi!

Thêm 1 bài nữa nhé:

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). (O) đường kính BC cắt AB, AC tại E, D.

a) Chứng minh AD.AC=AE.AB

b) BD cắt CE tại H. Chứng minh AH $\perp$ BC

c*) Vẽ tiếp tuyến AM, AN của (O). Chứng minh M, H, N thẳng hàng.                         

Bài 2 còn thiếu (4;4;2) nữa nhé! Còn ở câu 3 thì $3^{m-1}-1 \vdots m$ mà!

1. Giải hệ phương trình:

   a) $3x - 4y = - 5$ ; $x - 2y = 4$.

   b) $(x-y)^2-(x-y)=6;2(x^2+y^2)=5xy$.

2. Tìm nghiệm tự nhiên x, y, z thỏa mãn:

   $\sqrt{x-y+z}=\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z}$ ; $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$.

3. Cho p là số nguyên tố lẻ và $m=\frac{9^{p}-1}{8}$. Chứng minh m là hợp số lẻ, m không chia hết cho 3 và $3^{m-1}\equiv 1$ (mod m).

1. Tìm a, b sao cho hệ phương trình $x^2+ax+6=0$, $x^2+bx+12=0$ có ít nhất 1 nghiệm chung và $\left | a \right |+\left | b \right |$ đạt GTNN.

2. Cho $x, y, z\in \mathbb{R}$ sao cho: $x+y+z=2$ và $xy+yz+zx=1$. Chứng minh $0\leqslant z\leqslant \frac{4}{3}$.

3. Chứng minh phương trình $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) có nghiệm nếu $\frac{2b}{a}\geqslant \frac{c}{a}+4$.

4. Cho phương trình: $x^2+(m-1)x+6=0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho: $A=(x_1^2-9)(x_2^2-4)$ đạt GTLN.

5. Cho hệ phương trình: $x+ay=1, -ax+y=a$.

a) Chứng minh hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.

b) Tìm a để phương trình có nghiệm (x;y) sao cho x, y<1.

6. Giải hệ phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{y}=1;\sqrt{x}+\sqrt{y-2}=4$.

5 bài nữa đây:

1. Tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.

2. Tìm một số nguyên tố, biết số đó khi thêm 64 hoặc bớt 25 thì đều là số chính phương.

3. Tìm số chính phương có 3 chữ số chia hết cho 56.

4. Cho số tự nhiên n sao cho $2n=a^2+b^2$. Chứng minh a, b có cùng tính chẵn lẻ và n là tổng của hai bình phương.

5. Cho $x^2+2y$ là một số chính phương (x và y là hai số tự nhiên). Chứng minh $x^2+y$ là tỗng cùa hai số chính phương.

Ở câu 4 chỉ có 2 phần tử như bạn nói thôi. Mình xin lỗi vì đánh nhầm đề. Còn câu 5 thay thay dấu lớn hơn thành bé hơn nhé!

Cho A, B là hai điểm cố định trên (O). C là điểm chính giữa cung AB. M là điểm động trên AB. Tia CM cắt (O) tại D.

a) Chứng minh: $AC^2=CM.CD$

b) Chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc một đường thẳng cố định.

c) Gọi $R_{1}, R_{2}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM và tam giác BDM. Chứng minh: $R_{1}+R_{2}$ không đổi.