Đến nội dung


thedragonknight

Đăng ký: 23-10-2011
Offline Đăng nhập: 16-03-2017 - 21:48
**---

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: TÌm hàm $f:\begin{bmatrix} 0;\frac{1}...

25-12-2014 - 10:23

TÌm hàm $f:\begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}.$ thỏa mãn : 

1. $f(x)$ liên tục trên $\begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.

2.$f(x)=f(x^{2}+\frac{1}{4})$ với mọi $x\in \begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

Với mỗi số thực $a \in [0;\frac{1}{2}] $ bất kỳ xét dãy $x_1=a; x_{n+1}=x_{n}^2+\frac{1}{2}$.

Dễ dàng chứng minh được rằng $lim {x_n}=\frac{1}{2}$

Khi đó $f(a)=f(x_n)$

Lấy $lim$ 2 vế kết hợp với $f$ liên tục ta đc

$f(a)=f(\frac{1}{2}) \forall a \in [0;\frac{1}{2}]$


Trong chủ đề: $f((f(x))^{2}y)=x^{3}.f(xy)$

25-12-2014 - 10:06

Làm sao bạn có thể thêm biến vào đúng vị trí đó mà không phải vị trí khác . Nếu có tài liệu thì chỉ cho mình nhé ! Thanks

Tài liệu về phần này có đầy trên mạng bạn chịu khó tìm nhé chứ mình ko có tài liệu phần này


Trong chủ đề: $f(x+2f(y))+yf(x+y)=f(xf(y))$

25-12-2014 - 08:09

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$  thỏa :  

                                                                              $f(x+2f(y))+yf(x+y)=f(xf(y))$

Thay $x=y=0 $ vào pt ta đc:

$f(2f(0))=f(0)$

Đặt $f(0)=a$. Khi đó: $f(2a)=a$

Thay $x=0, y=2a$ vào pt đầu ta đc: 

$a+2a^2=a$

Suy ra $a=0$

Thay $y=0$ vào pt đầu ta đc: 

$f(x)=0 \forall x \in R$


Trong chủ đề: $f((f(x))^{2}y)=x^{3}.f(xy)$

25-12-2014 - 07:49

Tìm tất cả  các hàm  $f:Q^{+}\rightarrow Q^{+}$  thỏa :    

                       $f((f(x))^{2}y)=x^{3}.f(xy)$

Bài này sử dụng pp thêm biến 

Dễ thấy f đơn ánh

Ta thêm biến $z$ vào pt đầu như sau:

$f((f(xz))^{2}y)=(xz)^3.f(xyz) \forall x,y,z\in Q^{+}$

Mặt khác: $x^3.z^3.f(xyz)=x^3.f((f(z))^2.xy)=f((f(x))^2.(f(z))^2.y) \forall x,y,z\in Q^{+}$

Kết hợp với tính đơn ánh ta suy ra :

$f(xz)=f(x).f(z) \forall x,z \in Q^{+}$ 

Từ đây dễ dàng suy ra đc $f(x)=x^{-1} \forall x\in Q^{+}$


Trong chủ đề: $2xf(f(x))=f(x)\begin{bmatrix} x+f(f(x)) \end...

24-12-2014 - 10:21

  Tìm hàm số $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty)$ thỏa 

          i)  f là một toàn ánh

          ii) $2xf(f(x))=f(x)\begin{bmatrix} x+f(f(x)) \end{bmatrix}$ với x dương

Từ pt ii) ta có:

$x(2f(f(x))-f(x))=f(x)f(f(x)) \forall x>0$

Suy ra: $f(f(x))>\frac{f(x)}{2} \forall x>0$

suy ra: $f(x)>\frac{x}{2} \forall x>0 $ (1)

Ta có: $f(f(x))=\frac{f(x)}{2}+\frac{f(x)f(f(x))}{x} \forall x>0$ (2)

Áp dụng (1) ta đc:

$f(f(x))>(\frac{1}{2}+\frac{a^2_{1}}{2})f(x)$ với $a_1=\frac{1}{2}$

Tương tự ta chứng minh đc 

$f(f(x))>a_n.x \forall x>0$ 

với $(a_n)$ là dãy truy hồi xác định bởi:

$a_1=\frac{1}{2}; a_{n+1}=\frac{a^2_{n}}{2}+\frac{1}{2}$

Dễ dàng c/m đc: $lim a_n=1$

Suy ra $f(x)\geq x \forall x>0$

Giả sử tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)>x_0.\sqrt{2}$

Khi đó $f(f(x_0))>x_0.\sqrt{2}$ 

Kết hơp với pt ii) ta suy ra $f(f(x_0)>\frac{sqrt{2}}{2}.b_n.x_0$ (3) 

với $(b_n): b_1=\sqrt{2}; b_{n+1}=b_{n}+1$

Dễ thấy $lim b_{n}=+\triangleright$ 

Mâu thuẫn với (3)

Vậy $f(x)<xsqrt{2} \forall x>0$

Tương tự ta cũng chứng minh đc: $f(x)\leq x \forall x>0$