thedragonknight

Câu 1: Giải phương trình $4x+\sqrt{2x^2+3x+1}-\frac{1}{x}=3$

 

Câu 2: Cho tam giác $ABC$ không vuông, không cân nội tiếp $(O)$. Trên $BC$ lấy $M$ là trung điểm, $AC$ lấy $N$ là trung điểm, $AB$ lấy $P$ là trung điểm. Trên tia $OM$ lấy $A_1$ sao cho tam giác $OAM$ đồng dạng $OA_{1}A$ . Tương tự cho cách lấy $B_1, C_1$. Chứng minh $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng qui

 

Câu 3: Cho $x,y,z >0$. Chứng minh:

$(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})\geq 2+2\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$

 

Câu 4: Tìm các số nguyên dương $n$ để:

 $n^4-4n^3+22n^2-36n+18$ là số chính phương

 

Câu 5: Cho $f:R\rightarrow R$. Tìm các hàm $f$ thỏa: 

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ và $f$ đơn điệu

                                                                                 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH 

                                                                                               Năm học: 2014-2105

                                                                                               Môn: Toán

                                                                                      Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

                                                                                                              

                                                                                                      ĐỀ:

Bài 1. (5đ)

1. Giải bất phương trình: $x^3-3x^2+2\sqrt{(x+3)^3}-9x\geq 0$

2. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 

$\sqrt{(m-2)x+m}\geq |x-1|$ có nghiệm trên $[-2;3]$

Bài 2. (5đ)

1. Cho a,b là 2 số thỏa điều kiện: $a^2+b^2+9=6a+2b$. Chứng minh $4b\leq 3a$

2. Cho dãy $(u_n)$ thỏa:

  $$u_1=1,u_2=2,u_{n+2}=\frac{2}{3}u_{n+1}+\frac{1}{3}u_n$$ với $n\in \mathbb{N},n>0$.

  Tìm $u_n$

Bài 3. (7đ)

1. Cho tứ diện $ABCD$ có $$AB=AC=a;BC=\frac{a}{2};AD=a\sqrt{3};\widehat{DAB}=\widehat{DAC}=30^{\circ}$$. 

Tính $d(AD;BC);V_{ABCD}$

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho $M(2;3)$. Đường thẳng $d$ qua $M$ có hệ số góc âm, $d$ cắt trục hoàng tại $A$, trục tung tại $B$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S_{OAB}$

Bài 4. (3đ)

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2x^3+2y^2+y+1=0\\ 2y^3+2z^2+z+1=0 \\ 2z^3+2x^2+x+1=0 \end{matrix}\right.$

 

Đề thi chọn đội tuyển HSG Olympic 30/4 lần thứ XX - 2014 Toán 10

  Thời gian 180 phút

Câu 1:

Giải hệ

$\left\{\begin{matrix} (x-y)^2+x+y=y^2 & \\ x^4 - 4x^2y + 3x^2 = -y^2& \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:

Cho góc nhọn BAx, điểm C di động trên tia Ax ( C khác A ). Gọi tiếp điểm của AC, BC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt là M, N. Chứng minh rằng MN đi qua 1 điểm cố định khi C di động

 

Câu 3:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $a\geq b\geq c$ và $a+b+c=3$

Chứng minh rằng:

   $\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+3b\geq 5$

 

Câu 4: 

Cho trước số nguyên tố $p$ và số nguyên dương $a$ với $1< a\leq p-1$. Giả sử:

$A=\sum_{k=0}^{p-1}a^k$. Chứng minh rằng với mọi ước nguyên tố $q$ của $A$ ta đều có $q-1\vdots p$

 

Câu 5: 

Cả 3 năm học cấp 3, lớp T đã tổ chức 50 lần ngoại khóa, mỗi lẫn có hơn nửa số học sinh của lớp tham gia. Chứng minh rằng: Tồn tại 1 nhóm ko quá 5 học sinh mà mỗi lần ngoại khóa có ít nhất 1 học sinh nhóm tham gia

 

Câu 6: 

Tìm tất cả các hàm $f:N*\rightarrow N*$ thỏa các điều kiện sau:

$\left\{\begin{matrix} f(n+1)>f(n) & \\ f(f(n))=n+2012 & \end{matrix}\right.$ $\forall n\in \mathbb{N}*$

 

P/s: Đề khá hay và khó

Đề thi chọn đội tuyển olympic 30/4 lần thứ XX - 2014 Toán 10 Thời gian: 180 phút

Câu 1: Giải phương trình: $\sqrt[3]{x-2}=8x^3-60x^2+151x-128$

 

Câu 2: Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BE, CF cắt nhay tại H. Trên các tia FB,EC theo thứ tự lấy các điểm P,Q sao cho FP=FC, EQ=EB. BQ cắt CP tại K,I,J theo thứ tự là trung điểm BQ, CP, IJ cắt BC, PQ theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng

1. HK vuông góc IJ

2. $\widehat{IAM}=\widehat{JAN}$

 

Câu 3: Cho 3 số thực dương sao cho $a+b+c=abc$ Chứng minh: \sum \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\leq \frac{3}{2}

 

Câu 4: Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn $pq|(p^p+q^q+1)$

 

Câu 5: Có 3 đống sỏi lần lượt có 2013; 213 và 13 viên sỏi. Được phép (A) Hoặc bớt đi ở cả 3 đống cùng 1 số viên sỏi (B) Hoặc chuyển đi 1 nữa số sỏi từ đống này (có số sỏi chẵn) sang 1 trong 2 đống kia. Hỏi có cách nào chuyển sỏi như trên có thể 1. Làm cho 2 đống sỏi ko còn viên nào hay ko? 2. Làm cho cả 3 đống ko còn viên nào hay ko?

 

Câu 6: Cho hàm số $f$ xác định và có giá trị trên $N$ thỏa các ĐK với mọi n

$1. f^{2}(2n+1)-f^2(2n)=6f(n)+1$

$2. f(2n)\geq f(n)$

 

Hỏi có bao nhiêu giá trị của f nhỏ hơn 2014